3a) Uma força harmônica de valor máximo igual a 250 N e frequência de 400 rpm age em uma máquina de 100 kg de massa. Projete um sistema de 4 isoladores iguais não amortecidos para a máquina de forma que apenas 10 \% da força que age aplicada à massa seja transmitida à base da máquina. Determine também a deflexão estática das molas e o valor da força transmitida ao piso.

Passo 1

O enunciado dá uma força harmônica de valor máximo F_{0}=250\\ \mathrm{N} e frequência de 400 rpm aplicada a uma massa m=100\\ \mathrm{kg}. Queremos projetar 4 isoladores não amortecidos idênticos de forma que apenas 10\% da força seja transmitida à base. Precisamos usar a fórmula da transmissibilidade para excitação por força, calcular a rigidez total e por isolador, a deflexão estática sob o peso e a força transmitida dinâmica.

Passo 2

Para excitação por força, a transmissibilidade é
\frac{F_{t}}{F_{0}} =\frac{k}{\bigl|\,k - m\,\omega^{2}\bigr|} =\frac{1}{\bigl|1 - r^{2}\bigr|},
onde r=\omega/\omega_{n} e \omega_{n}^{2}=k/m. Queremos \tfrac{F_{t}}{F_{0}}=0{,}1, logo
\bigl|1 - r^{2}\bigr|=10.
Para efetivo isolamento (caso r>1), temos
r^{2}-1=10 \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{11}\approx3{,}316.

Passo 3

A frequência de excitação em rad/s é
\omega = 2\pi\cdot\frac{400}{60} \approx 41{,}89\\ \mathrm{rad/s}.
Daí a frequência natural desejada
\omega_{n}=\frac{\omega}{r} =\frac{41{,}89}{\sqrt{11}} \approx12{,}63\\ \mathrm{rad/s}.
Como \omega_{n}^{2}=k_{\mathrm{tot}}/m, obtemos
k_{\mathrm{tot}} = m\,\omega_{n}^{2} = 100\cdot(12{,}63)^{2} \approx1{,}595\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.
Cada isolador deve ter
k = \frac{k_{\mathrm{tot}}}{4} \approx\frac{1{,}595\times10^{4}}{4} =3{,}987\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

A deflexão estática total sob o peso da máquina é
\delta =\frac{mg}{k_{\mathrm{tot}}} =\frac{100\cdot9{,}81}{1{,}595\times10^{4}} \approx0{,}0615\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A força transmitida dinâmica na frequência de excitação é
F_{t}=0{,}1\,F_{0} =0{,}1\cdot250 =25\\ \mathrm{N}.

Resposta

Rigidez de cada isolador k=3,99\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
Deflexão estática \delta=0{,}0615\\ \mathrm{m}.
Força transmitida F_{t}=25\\ \mathrm{N}.

Exercícios relacionados