\mathbf{1}^{\mathbf{a}} ) Uma máquina de 300 kg é colocada sobre um piso vibrante. Contudo, entre a base da máquina e o piso, foram inseridas molas com rigidez total de 40.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e amortecedores com coeficiente de amortecimento total desconhecido. Após a montagem, verificou-se que a máquina entra em ressonância e é observada vibrar com amplitude de 10 mm , enquanto o piso vibra com amplitude máxima de 2,5 \mathrm{~mm}. Calcule o coeficiente de amortecimento total do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá uma máquina de massa m = 300\,\mathrm{kg} apoiada em um sistema mola-amortecedor com rigidez k = 40000\,\mathrm{N/m} e coeficiente de amortecimento c desconhecido. Observou-se ressonância, em que o piso vibra com amplitude X_0 = 2,5\,\mathrm{mm} e a máquina vibra com amplitude X = 10\,\mathrm{mm}. Vamos usar as fórmulas de vibração forçada em regime estacionário e o fator de amplificação dinâmico para determinar c.

Passo 2

Calcular a frequência natural não amortecida \omega_n do sistema com
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
Substituindo k = 40000\,\mathrm{N/m} e m = 300\,\mathrm{kg},
\omega_n = \sqrt{\frac{40000}{300}} \approx 11{,}55\,\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Em ressonância, o fator de amplificação dinâmico é
M_{\mathrm{res}} = \frac{X}{X_0}
e também vale
M_{\mathrm{res}} = \frac{1}{2\,\zeta},
em que \zeta é a razão de amortecimento. Primeiro,
M_{\mathrm{res}} = \frac{10}{2,5} = 4.
Logo
\zeta = \frac{1}{2\,M_{\mathrm{res}}} = \frac{1}{2\cdot 4} = 0{,}125.

Passo 4

A razão de amortecimento \zeta está ligada a c por
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_n}.
Isolando c, obtemos
c = 2\,m\,\omega_n\,\zeta.

Passo 5

Substituindo m = 300\,\mathrm{kg}, \omega_n \approx 11{,}55\,\mathrm{rad/s} e \zeta = 0{,}125,
c = 2 \times 300 \times 11{,}55 \times 0{,}125 \approx 866\,\mathrm{N\cdot s/m}.

Resposta

O coeficiente de amortecimento total do sistema é aproximadamente
c \approx 866\,\mathrm{N\cdot s/m}.

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