Calcule diretamente a força gravitacional em uma unidade de massa em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria.
Passo 1
O enunciado pede a campo gravitacional (força por unidade de massa) em um ponto
situado a uma distância
do centro de uma esfera homogênea de raio
e massa total
, com
. O conteúdo é cálculo de campo gravitacional por integração de volume: vamos usar coordenadas esféricas centradas na esfera, explorar a simetria axial e integrar as contribuições de todos os elementos de massa.
Passo 2
Definimos densidade volumétrica constante
e tomamos o ponto
no eixo
a uma distância
do centro. Um elemento de volume em coordenadas esféricas é
e a distância de
até
é
Passo 3
O campo gravitacional devido a
é
onde
aponta de
para
. Pela simetria, apenas a componente ao longo do eixo
sobrevive. Essa componente é
Passo 4
Integramos
de
a
e escrevemos o campo total
Passo 5
Focamos na integral angular
Com a troca
, mostra-se (por derivada em relação a
ou tabelas de integrais) que, para
,
Passo 6
Substituindo
em
:
Usando
, temos