Calcule diretamente a força gravitacional em uma unidade de massa em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria.

Passo 1

O enunciado pede a campo gravitacional (força por unidade de massa) em um ponto P situado a uma distância r do centro de uma esfera homogênea de raio R e massa total M, com r>R. O conteúdo é cálculo de campo gravitacional por integração de volume: vamos usar coordenadas esféricas centradas na esfera, explorar a simetria axial e integrar as contribuições de todos os elementos de massa.

Passo 2

Definimos densidade volumétrica constante
\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3},
e tomamos o ponto P no eixo z a uma distância r do centro. Um elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r'^{2}\sin\theta\,dr'\,d\theta\,d\varphi
e a distância de dV até P é
s = \sqrt{r^2 + r'^{2} - 2\,r\,r'\cos\theta}\,.

Passo 3

O campo gravitacional devido a dV é
d\vec g = -G\,\frac{\rho\,dV}{s^{2}}\;\hat u,
onde \hat u aponta de dV para P. Pela simetria, apenas a componente ao longo do eixo z sobrevive. Essa componente é
d g_z = -G\,\frac{\rho\,r'^{2}\sin\theta\,dr'\,d\theta\,d\varphi}{s^{2}} \;\frac{r - r'\cos\theta}{s}\,.

Passo 4

Integramos \varphi de 0 a 2\pi e escrevemos o campo total
g_z = -2\pi G\rho \int_{r'=0}^{R}\!\int_{\theta=0}^{\pi} \frac{r'^{2}\sin\theta\,(r - r'\cos\theta)} {\bigl(r^2 + r'^{2} - 2rr'\cos\theta\bigr)^{3/2}} \,d\theta\,dr'\,.

Passo 5

Focamos na integral angular
I(r,r')=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\,(r - r'\cos\theta)} {\bigl(r^2 + r'^{2} - 2rr'\cos\theta\bigr)^{3/2}} \,d\theta.
Com a troca t=\cos\theta, mostra-se (por derivada em relação a r ou tabelas de integrais) que, para r>r',
I(r,r')=\frac{2}{r^2}.

Passo 6

Substituindo I(r,r') em g_z:
g_z = -2\pi G\rho \int_{0}^{R} r'^{2}\,\frac{2}{r^2}\,dr' = -\frac{4\pi G\rho}{r^2}\int_{0}^{R}r'^{2}dr' = -\frac{4\pi G\rho}{r^2}\,\frac{R^3}{3}.
Usando \rho=\dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}, temos
g_z = -\frac{4\pi G}{r^2} \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\,\frac{R^3}{3} = -\frac{GM}{r^2}.

Resposta

\boxed{\vec g(P) = -\frac{GM}{r^2}\,\hat r, \quad r>R.}

Exercícios relacionados