3.(a) \left(1,5\right. ponto)Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=8 x^{3}+2 x y-3 x^{2}+y^{2}+1
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(b)( 1,0 ponto)Usando o Teste da 2^{\text {a }} Derivada,classifique os pontos críticos de f(x, y) ,se possível.

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=8x^{3}+2xy-3x^{2}+y^{2}+1
e (b) usar o Teste da 2ª Derivada para classificá-los. Para isso precisamos calcular as derivadas parciais primeiras, resolver o sistema \nabla f=0 para achar os pontos críticos e, em seguida, obter as derivadas segundas para aplicar o teste do Hessiano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais primeiras:
\frac{\partial f}{\partial x} =24x^{2}-6x+2y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =2x+2y.
Igualando ao zero, obtemos o sistema
\begin{cases} 24x^{2}-6x+2y=0,\\\\ 2x+2y=0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem 2x+2y=0\implies y=-x. Substituindo na primeira:
24x^{2}-6x+2(-x)=0 \;\Longrightarrow\; 24x^{2}-8x=0 \;\Longrightarrow\; 8x(3x-1)=0,
logo x=0 ou x=\tfrac13. Assim os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac13,-\tfrac13\Bigr).

Passo 4

Agora as derivadas segundas:
f_{xx}=48x-6, \quad f_{yy}=2, \quad f_{xy}=2.
O determinante do Hessiano é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2}.

Passo 5

Avaliemos D e f_{xx} em cada ponto:
Em (0,0):
f_{xx}(0,0)=48\cdot0-6=-6, \quad D(0,0)=(-6)\cdot2-2^{2}=-12-4=-16<0.
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
Em \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr):
f_{xx}\bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr)=48\cdot\tfrac13-6=16-6=10, \quad D\bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr)=10\cdot2-4=20-4=16>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr) é mínimo local.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) é ponto de sela.
\bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr) é mínimo local.

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