Questão 3. (2,0) Seja f uma aplicação real e k um real positivo. Dizemos que f é lipschitziana de razão k em \mathbb{R} se:
\forall\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq k\left|x_{1}-x_{2}\right|
Dizemos que f é lipschitziana se existe um real positivo k tal que f é lipschitziana de razão k.
a) Mostre que a aplicação x \mapsto \frac{1}{1+|x|} é lipschitziana de razão 1 \mathrm{em} \mathbb{R}.
b) Mostrar que toda aplicação lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado trata de funções Lipschitzianas em \mathbb{R}. Dizemos que f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é Lipschitziana de razão k>0 se
\forall (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2},\quad\bigl|f(x_{1})-f(x_{2})\bigr|\le k\,\bigl|x_{1}-x_{2}\bigr|.
Precisamos:
a) mostrar que f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana com k=1 em \mathbb{R};
b) provar que toda função Lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}.

Passo 2

Para a parte (a), sejam x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}. Calculamos
\bigl|f(x_{1})-f(x_{2})\bigr| =\Biggl|\frac1{1+|x_{1}|}-\frac1{1+|x_{2}|}\Biggr| =\frac{\bigl||x_{2}|-|x_{1}|\bigr|}{(1+|x_{1}|)(1+|x_{2}|)}.
Pela desigualdade triangular reversa, \bigl||x_{2}|-|x_{1}|\bigr|\le|x_{2}-x_{1}|, e como (1+|x_{1}|)(1+|x_{2}|)\ge1, segue que
\bigl|f(x_{1})-f(x_{2})\bigr|\le\frac{|x_{2}-x_{1}|}{1}=|x_{1}-x_{2}|.

Passo 3

Concluímos que
\forall x_{1},x_{2}\in\mathbb{R},\quad\bigl|f(x_{1})-f(x_{2})\bigr|\le1\cdot|x_{1}-x_{2}|.
Portanto f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana de razão k=1 em \mathbb{R}.

Passo 4

Para a parte (b), seja f Lipschitziana com razão k>0. Dado um ponto x_{0}\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, escolha
\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{k}.
Então, se \bigl|x-x_{0}\bigr|<\delta, pela propriedade Lipschitziana temos
\bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|\le k\,\bigl|x-x_{0}\bigr|<k\cdot\frac{\varepsilon}{k}=\varepsilon.
Isso mostra que f é contínua em x_{0}. Como x_{0} é arbitrário, f é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

a) A função \displaystyle f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana de razão k=1 em \mathbb{R}.
b) Qualquer função Lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}.

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