Dizemos que f é lipschitziana se existe um real positivo k tal que f é lipschitziana de razão k.
a) Mostre que a aplicação x \mapsto \frac{1}{1+|x|} é lipschitziana de razão 1 \mathrm{em} \mathbb{R}.
b) Mostrar que toda aplicação lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado trata de funções Lipschitzianas em \mathbb{R}. Dizemos que f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é Lipschitziana de razão k>0 se
Precisamos:
a) mostrar que f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana com k=1 em \mathbb{R};
b) provar que toda função Lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}.
Passo 2
Para a parte (a), sejam x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}. Calculamos
Portanto f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana de razão k=1 em \mathbb{R}.
Passo 4
Para a parte (b), seja f Lipschitziana com razão k>0. Dado um ponto x_{0}\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, escolha \displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{k}.
Então, se \bigl|x-x_{0}\bigr|<\delta, pela propriedade Lipschitziana temos
Isso mostra que f é contínua em x_{0}. Como x_{0} é arbitrário, f é contínua em \mathbb{R}.
Resposta
a) A função \displaystyle f(x)=\frac1{1+|x|} é Lipschitziana de razão k=1 em \mathbb{R}.
b) Qualquer função Lipschitziana em \mathbb{R} é contínua em \mathbb{R}.