Questão 2. (2,0) Mostre que se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell_{1} e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\ell_{2} então \lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x)=\ell_{1} \cdot \ell_{2}.

Passo 1

O enunciado afirma que \lim_{x\to a}f(x)=\ell_1 e \lim_{x\to a}g(x)=\ell_2 e pede para mostrar \lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=\ell_1\ell_2. Vamos usar a definição \varepsilon- \delta de limite e a desigualdade triangular para funções.

Passo 2

Para provar \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\ell_1\ell_2, fixamos um \varepsilon>0 e precisamos encontrar \delta>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta, valha
|f(x)g(x)-\ell_1\ell_2|<\varepsilon.

Passo 3

Reescrevemos a diferença e aplicamos a desigualdade triangular:
|f(x)g(x)-\ell_1\ell_2| =|f(x)g(x)-f(x)\ell_2+f(x)\ell_2-\ell_1\ell_2| =|f(x)(g(x)-\ell_2)+(f(x)-\ell_1)\ell_2| \le|f(x)|\,|g(x)-\ell_2|+|\ell_2|\,|f(x)-\ell_1|.

Passo 4

Para controlar |f(x)|, como \lim_{x\to a}f(x)=\ell_1, existe \delta_1>0 tal que
0<|x-a|<\delta_1\implies|f(x)-\ell_1|<1.
Dessa forma
|f(x)|\le|\ell_1|+1.

Passo 5

Definimos as constantes
M_1=|\ell_1|+1,\quad M_2=|\ell_2|+1.
Então a desigualdade do Passo 3 fica
|f(x)g(x)-\ell_1\ell_2|\le M_1\,|g(x)-\ell_2|+M_2\,|f(x)-\ell_1|.

Passo 6

Para o dado \varepsilon>0, pela definição de limite de g existe \delta_2>0 tal que
0<|x-a|<\delta_2\implies|g(x)-\ell_2|<\frac{\varepsilon}{2M_1},
e pela definição de limite de f existe \delta_3>0 tal que
0<|x-a|<\delta_3\implies|f(x)-\ell_1|<\frac{\varepsilon}{2M_2}.

Passo 7

Seja
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}.
Então, para 0<|x-a|<\delta, combinando as estimativas, obtemos
|f(x)g(x)-\ell_1\ell_2| \le M_1\frac{\varepsilon}{2M_1}+M_2\frac{\varepsilon}{2M_2} =\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\ell_1\ell_2.

Resposta

\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\ell_1\ell_2.

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