Questão 2.
Mostre que se
e
então
.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
e pede para mostrar
. Vamos usar a definição
-
de limite e a desigualdade triangular para funções.
Passo 2
Para provar
, fixamos um
e precisamos encontrar
tal que, para
, valha
Passo 3
Reescrevemos a diferença e aplicamos a desigualdade triangular:
Passo 4
Para controlar
, como
, existe
tal que
Dessa forma
Passo 5
Definimos as constantes
Então a desigualdade do Passo 3 fica
Passo 6
Para o dado
, pela definição de limite de
existe
tal que
e pela definição de limite de
existe
tal que
Passo 7
Seja
Então, para
, combinando as estimativas, obtemos
Isso mostra que
.