Resolva as equações de Ricatti.
y^{\prime}-\left(1+2 e^{x}\right) y+y^{2}=-e^{2 x}, sabendo que y=e^{x} é solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
y' - \bigl(1+2e^x\bigr)y + y^2 = -e^{2x}
e informa que y_p=e^x é uma solução particular. O conteúdo é resolução de Riccati por transformação y=y_p+1/u, que reduz a uma equação linear de primeira ordem para u.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = y_p + \frac1u = e^x + \frac1u.
Calculamos
y' = e^x - \frac{u'}{u^2}.

Passo 3

Substituindo em
y' - (1+2e^x)y + y^2 = -e^{2x},
temos
e^x - \frac{u'}{u^2} - (1+2e^x)\Bigl(e^x+\frac1u\Bigr) + \Bigl(e^x+\frac1u\Bigr)^2 = -e^{2x}.
Ao expandir e cancelar -e^{2x}, chega-se a
\frac{1 - u'}{u^2} - \frac1u = 0,
que, multiplicando por u^2, dá a equação linear
u' + u = 1.

Passo 4

Resolvemos
u' + u = 1
com fator integrante e^x. Escrevemos
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^x\bigr) = e^x,
logo
u\,e^x = e^x + C \quad\Longrightarrow\quad u = 1 + C\,e^{-x},
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando a y,
y = e^x + \frac1u = e^x + \frac{1}{1 + C\,e^{-x}} = e^x + \frac{e^x}{e^x + C}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x)=e^x + \frac{1}{1 + C\,e^{-x}}\,,}
com C constante arbitrária.

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