Na 3a Lei de Kepler, temos que a relação entre o período e o raio de orbita de um objeto é dada por:
, onde
é uma constante que depende da massa do astro central (
). Usando a 3á Lei de Kepler e a gravitação Newtoniana para orbitas circulares, e sendo
é a Constante da Gravitação Universal, mostre que:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente mostrar, a partir da 3ª Lei de Kepler
T² = c′ R³
e da gravitação newtoniana pra órbitas circulares, que
c′ = (4 π²)/(G M)
Então, o tema aqui é Mecânica Celeste: vamos usar a lei de gravitação universal de Newton e a definição de força centrípeta pra órbita circular, além de saber como se calcula o período T de uma volta.
Passo 2
Explicando a parte teórica:
- Lei da Gravitação Universal (Newton) diz que a força que o astro central (massa M) faz sobre um satélite (massa m) a uma distância R é
F_g = G M m / R²
onde G é a constante gravitacional. - Força centrípeta necessária pra manter algo em órbita circular de raio R com velocidade v é
F_c = m v² / R
Ela “puxa” o objeto para dentro, mantendo o movimento em círculo.
Passo 3
Como, numa órbita estável, a única força é a gravidade, a gente iguala:
G M m / R² = m v² / R
O m do satélite cancela, e sobra
v² = G M / R
G M m / R² = m v² / R
O m do satélite cancela, e sobra
v² = G M / R
Passo 4
Agora ligamos isso ao período T. O período é o tempo que o satélite leva pra dar uma volta completa em torno de M. Como o caminho é a circunferência 2πR e a velocidade é v, vem:
T = (distância)/(velocidade) = 2πR / v
Elevando ao quadrado:
T² = (2πR)² / v² = (4π² R²) / v²
T = (distância)/(velocidade) = 2πR / v
Elevando ao quadrado:
T² = (2πR)² / v² = (4π² R²) / v²
Passo 5
Substituindo v² = G M / R em T²:
T² = (4π² R²) / (G M / R)
= 4π² R³ / (G M)
T² = (4π² R²) / (G M / R)
= 4π² R³ / (G M)
Mas a 3ª Lei de Kepler nos deu T² = c′ R³. Comparando as duas expressões de T², concluímos que
Resposta
c′ = (4 π²) / (G M)