Parta de um conjunto (sistema) de n partículas cada uma com sua respectiva massa, mi. Suponha que existem um número de m forças que atuam nesse sistema e mostre que a eq. (01) abaixo representa a 2á Lei do Movimento (de Newton) para esse sistema de n partículas. Onde: F res é a força resultante sobre o sistema; M é a massa total do sistema; e aC M é a aceleração do centro de massa. Justifique as passagens.
Fr e s=M aC M

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com n partículas, cada uma com uma massa mᵢ. Temos m forças que atuam nesse sistema. A pergunta é para mostrar que a equação Fres = M aCM representa a 2ª Lei de Newton para esse sistema. Aqui, Fres é a força resultante no sistema, M é a massa total, e aCM é a aceleração do centro de massa. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas de partículas e entender o que é o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a 2ª Lei de Newton para uma única partícula: F = m a, onde F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração.
Para um sistema de partículas, a ideia é generalizar isso. A força resultante no sistema vai influenciar a aceleração do centro de massa desse sistema. O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas, e sua aceleração reflete o movimento global do sistema.

Passo 3

Vamos calcular a força resultante no sistema. A força resultante Fres é a soma de todas as forças externas que atuam nas partículas:
Fres = sumi=1^m Fi
Aqui, estamos somando todas as m forças que atuam no sistema.

Passo 4

Agora, vamos considerar a aceleração do centro de massa ( aCM). A posição do centro de massa ( R) é dada por:
R = 1M sumi=1^n mi ri
Onde ri é a posição da partícula i e M é a massa total do sistema:
M = sumi=1^n mi
A aceleração do centro de massa é a segunda derivada de R em relação ao tempo:
aCM = d^2 Rdt^2 = 1M sumi=1^n mi ai

Passo 5

De acordo com a 2ª Lei de Newton, a força resultante em cada partícula é igual à massa da partícula vezes sua aceleração:
Fi = mi ai
Somando todas as forças externas:
Fres = sumi=1^n Fi = sumi=1^n mi ai

Passo 6

Observando a expressão da aceleração do centro de massa:
aCM = 1M sumi=1^n mi ai
Podemos reescrever a soma das forças como:
Fres = M aCM
Multiplicando ambos os lados por M:
Fres = M aCM

Resposta

Então, mostramos que a força resultante no sistema é igual à massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa, ou seja:
Fres = M aCM
Isso confirma que a equação representa a 2ª Lei de Newton para um sistema de n partículas.

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