Parta de um conjunto (sistema) de
partículas cada uma com sua respectiva massa,
. Suponha que existem um número de
forças que atuam nesse sistema e mostre que a eq. (01) abaixo representa a 2á Lei do Movimento (de Newton) para esse sistema de
partículas. Onde:
é a força resultante sobre o sistema;
é a massa total do sistema; e
é a aceleração do centro de massa. Justifique as passagens.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com n partículas, cada uma com uma massa mᵢ. Temos m forças que atuam nesse sistema. A pergunta é para mostrar que a equação
representa a 2ª Lei de Newton para esse sistema. Aqui,
é a força resultante no sistema, M é a massa total, e
é a aceleração do centro de massa. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas de partículas e entender o que é o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a 2ª Lei de Newton para uma única partícula:
, onde
é a força resultante, m é a massa e
é a aceleração.
Para um sistema de partículas, a ideia é generalizar isso. A força resultante no sistema vai influenciar a aceleração do centro de massa desse sistema. O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas, e sua aceleração reflete o movimento global do sistema.
Passo 3
Vamos calcular a força resultante no sistema. A força resultante
é a soma de todas as forças externas que atuam nas partículas:
Aqui, estamos somando todas as m forças que atuam no sistema.
Passo 4
Agora, vamos considerar a aceleração do centro de massa (
). A posição do centro de massa (
) é dada por:
Onde
é a posição da partícula i e M é a massa total do sistema:
A aceleração do centro de massa é a segunda derivada de
em relação ao tempo:
Passo 5
De acordo com a 2ª Lei de Newton, a força resultante em cada partícula é igual à massa da partícula vezes sua aceleração:
Somando todas as forças externas:
Passo 6
Observando a expressão da aceleração do centro de massa:
Podemos reescrever a soma das forças como:
Multiplicando ambos os lados por M:
Resposta
Então, mostramos que a força resultante no sistema é igual à massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa, ou seja:
Isso confirma que a equação representa a 2ª Lei de Newton para um sistema de n partículas.