3a Ouestão: Uma estação elevatória de água recalca 2.500 \mathrm{~m}^{3} / dia (sendo de 16 horas o tempo de trabalho diário da instalação) desde um reservatório de água tratada, na saída da E.T.A., diretamente para o reservatório de distribuição de água de uma cidade. As cotas dos respectivos rórios são de 100,00 \mathrm{~m} e 150,00 \mathrm{~m} respectivamente. O comprimento da tubulação de recalque é de 400 m e o de sucção é de 15 m ; a altura geométrica de sucção é de 4 m e a de recalque é de 46 m ; as paredes da canalizaçăo săo de ferro fundido ( \mathrm{C}=110; coef de Hazen-Williams). Calcule os diâmetros das tubulaçoes de recalque e de sucção, e a potência da bomba, onde a eficiência do conjunto motor bomba é de 75 \%. Considere também que o somatório dos comprimentos equivalentes para o cálculo das perdas de carga acidentais nas tubulações de sucçåo e recalque såo de 280 D e 226 D respectivamente

Passo 1

O enunciado pede para calcular os diâmetros das tubulações de sucção e de recalque e a potência necessária da bomba (considerando eficiência do conjunto motor+bomba de 75\%). Os dados fornecidos são:
  • Vazão diária: 2500\\ \mathrm{m^{3}/dia}, com tempo de trabalho diário de 16 horas (ou seja, toda essa vazão é bombeada em 16 h/dia).
  • Cotas (níveis) dos reservatórios: sucção em 100{,}00\\ \mathrm{m} e recalque em 150{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimentos das tubulações (linhas): sucção 15\\ \mathrm{m}; recalque 400\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica de sucção: 4\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica de recalque: 46\\ \mathrm{m}.
    (Observação: 4+46 = 50\\ \mathrm{m} corresponde à diferença de cotas 150-100.)
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=110.
  • Somatório dos comprimentos equivalentes para perdas localizadas, expresso em D: sucção =280\,D; recalque =226\,D.
  • Eficiência do conjunto motor+bomba: \eta=75\%=0{,}75.
Perguntas claras:
  1. Determinar os diâmetros das tubulações de sucção e recalque.
  2. Calcular a potência da bomba (energia elétrica solicitada ao motor), considerando \eta=0{,}75.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica instantânea Q (em \mathrm{m^{3}/s}) a partir dos dados:
A estação desloca 2500\\ \mathrm{m^{3}} por dia, mas opera 16 horas por dia. Então a vazão média de projeto durante o período de trabalho é
Q=\frac{2500\\ \mathrm{m^{3}}}{16\\ \mathrm{h}}.
Convertendo 16 h para segundos ( 16\\ \mathrm{h}=16\cdot3600\\ \mathrm{s}=57600\\ \mathrm{s}):
Q=\frac{2500}{57600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=\;0{,}043402777\ldots\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Usarei Q\approx 0{,}043403\\ \mathrm{m^{3}/s} nas contas (mantendo casas suficientes para evitar arredondamentos grosseiros).

Passo 3

Escolha do método prático para definir os diâmetros:
  • O enunciado não dá uma velocidade admissível, nem uma perda máxima permitida; portanto, adota-se um critério de projeto clássico e simples: limitar as velocidades ao intervalo recomendado para condução de água potável (velocidade menor na sucção para evitar problemas de cavitação e maiores perdas localizadas). Uma escolha comum e segura é:
    • velocidade admissível na sucção v_{\mathrm{suc}}\approx 1{,}5\\ \mathrm{m/s} (menor para reduzir riscos de cavitação e facilitar a sucção),
    • velocidade admissível no recalque v_{\mathrm{rec}}\approx 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Esse procedimento é básico e indicado para dimensionamento inicial (é o método mais direto quando o problema não fornece outras restrições). Escolher velocidades menores significa usar diâmetros maiores e perdas por fricção menores — trade-off entre custo e energia.
Vou então determinar os diâmetros requeridos para que as velocidades calculadas não ultrapassem esses limites.

Passo 4

Cálculo dos diâmetros a partir da relação entre vazão, área e velocidade:
Área A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}, velocidade v=\dfrac{Q}{A}. Isolando D temos
D=\sqrt{\frac{4Q}{\pi v}}.
  • Para a sucção, com v_{\mathrm{suc}}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}:
D_{\mathrm{suc}}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}043402777}{\pi\cdot 1{,}5}}.
Calculemos numericamente:
D_{\mathrm{suc}}=\sqrt{\frac{0{,}17361111}{4{,}71238898}}=\sqrt{0{,}036864\ldots}=0{,}1920\\ \mathrm{m}.
Logo D_{\mathrm{suc}}\approx 0{,}192\\ \mathrm{m} (ou 192\\ \mathrm{mm}).
  • Para o recalque, com v_{\mathrm{rec}}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}:
D_{\mathrm{rec}}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}043402777}{\pi\cdot 2{,}0}}.
Numericamente:
D_{\mathrm{rec}}=\sqrt{\frac{0{,}17361111}{6{,}28318531}}=\sqrt{0{,}02763\ldots}=0{,}1662\\ \mathrm{m}.
Logo D_{\mathrm{rec}}\approx 0{,}166\\ \mathrm{m} (ou 166\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Escolha comercial e arredondamento:
  • Em projeto de tubulações costuma-se adotar o próximo diâmetro comercial superior ao calculado (para garantir que a velocidade não exceda o limite e facilitar montagem). Assim:
    • adota-se D_{\mathrm{suc}}=0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm) em vez de 0{,}192\\ \mathrm{m};
    • adota-se D_{\mathrm{rec}}=0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm) em vez de 0{,}166\\ \mathrm{m}.
      Escolhi 0{,}20\\ \mathrm{m} para ambas por simplicidade prática e porque aumenta a segurança em sucção (reduzindo perdas e risco de cavitação) e não penaliza muito a energia no recalque. (Se quiser economizar tubulação, poderia adotarse D_{\mathrm{rec}}=0{,}15\\ \mathrm{m} padrão, mas isto aumentaria bastante as perdas.)
Agora calculamos as velocidades reais com D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
v=\frac{4Q}{\pi D^{2}}=\frac{4\cdot 0{,}043402777}{\pi\cdot(0{,}20)^{2}}.
v=\frac{0{,}17361111}{0{,}12566371}=1{,}3826\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, com D=0{,}20\\ \mathrm{m} a velocidade é v\approx 1{,}38\\ \mathrm{m/s} (aceitável tanto na sucção como no recalque).

Passo 6

Fórmula de Hazen–Williams (forma usada para perdas por fricção, unidades SI: h_{f} em metros, L em metros, Q em \mathrm{m^{3}/s}, D em metros, C adimensional):
A forma conveniente para cálculo direto é
h_{f}=10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}8704}}.
Explicando cada termo:
  • h_{f}: perda de carga por fricção na tubulação (m).
  • L: comprimento equivalente da tubulação (m). Aqui L = comprimento geométrico + comprimento equivalente das válvulas/peças, e o enunciado deu esses últimos em função de D (ex.: 280\,D para sucção).
  • Q: vazão \mathrm{m^{3}/s}.
  • C: coeficiente de Hazen–Williams (aqui 110).
  • D: diâmetro interno da tubulação (m).
  • O expoente 1{,}852 e 4{,}8704 são da forma empírica da equação Hazen–Williams em unidades SI.

Passo 7

Cálculo das perdas por fricção nas duas tubulações com os diâmetros adotados D_{\mathrm{suc}}=D_{\mathrm{rec}}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Primeiro, calcule Q^{1{,}852} e C^{1{,}852}:
Q^{1{,}852}\approx(0{,}043402777)^{1{,}852}\approx 0{,}002989\quad(\text{valor numérico}),é
C^{1{,}852}=(110)^{1{,}852}\approx 6000\\ \text{(aprox.)}.
Defino um fator auxiliar
K=\frac{10{,}67\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}}\approx \frac{10{,}67\cdot 0{,}002989}{6000}\approx 5{,}31\cdot 10^{-6}.
Agora o comprimento equivalente total em cada linha:
  • Para a sucção: comprimento geométrico 15\\ \mathrm{m} mais perdas locais 280\,D:
L_{\mathrm{suc}}=15 + 280\cdot D_{\mathrm{suc}}=15 + 280\cdot 0{,}20 = 15 + 56 = 71\\ \mathrm{m}.
  • Para o recalque: comprimento geométrico 400\\ \mathrm{m} mais perdas locais 226\,D:
L_{\mathrm{rec}}=400 + 226\cdot D_{\mathrm{rec}}=400 + 226\cdot 0{,}20 = 400 + 45{,}2 = 445{,}2\\ \mathrm{m}.
Aplicando Hazen–Williams:
  • Perda na sucção
h_{\mathrm{suc}}=K\;\frac{L_{\mathrm{suc}}}{D_{\mathrm{suc}}^{4{,}8704}} =5{,}31\cdot 10^{-6}\;\frac{71}{(0{,}20)^{4{,}8704}}.
Calculemos (0{,}20)^{4{,}8704}\approx 3{,}945\cdot 10^{-4}. Assim
h_{\mathrm{suc}}\approx 5{,}31\cdot 10^{-6}\;\frac{71}{3{,}945\cdot 10^{-4}} \approx 0{,}956\\ \mathrm{m}.
  • Perda no recalque
h_{\mathrm{rec}}=K\;\frac{L_{\mathrm{rec}}}{D_{\mathrm{rec}}^{4{,}8704}} =5{,}31\cdot 10^{-6}\;\frac{445{,}2}{(0{,}20)^{4{,}8704}}.
Usando o mesmo denominador,
h_{\mathrm{rec}}\approx 5{,}31\cdot 10^{-6}\;\frac{445{,}2}{3{,}945\cdot 10^{-4}} \approx 5{,}99\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: com D=0{,}20\\ \mathrm{m}, perda no recalque é maior por causa do comprimento muito maior.

Passo 8

Cálculo da altura total a vencer pela bomba (altura geométrica + perdas):
  • Altura geométrica total H_{\mathrm{geom}}=H_{\mathrm{suc}}+H_{\mathrm{rec}}=4 + 46 = 50\\ \mathrm{m}.
  • Perdas por fricção totais h_{\mathrm{f,tot}}=h_{\mathrm{suc}}+h_{\mathrm{rec}}\approx 0{,}956 + 5{,}99 = 6{,}946\\ \mathrm{m}.
    Portanto a carga total H que a bomba precisa fornecer é
H=H_{\mathrm{geom}}+h_{\mathrm{f,tot}}=50 + 6{,}946 \approx 56{,}946\\ \mathrm{m}.
Agora a potência hidráulica requerida pela bomba (potência útil do fluido):
P_{h}=\rho\,g\,Q\,H,
onde \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (água), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, Q=0{,}043402777\\ \mathrm{m^{3}/s} e H\approx 56{,}946\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
P_{h}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}043402777\cdot 56{,}946 \approx 24{,}227\\ \mathrm{W}\approx 24{,}23\\ \mathrm{kW}.
Considerando eficiência do conjunto motor+bomba \eta=0{,}75, a potência elétrica necessária ( P_{\mathrm{motor}}) é
P_{\mathrm{motor}}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{24{,}227}{0{,}75}\approx 32{,}303\\ \mathrm{kW}.
Arredondando para uma potência comercial conveniente, recomenda-se um motor de cerca de 33\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Resumo do projeto e justificativas pedagógicas:
  • Adotou-se método básico de dimensionamento por velocidade limite (método prático mais simples quando não há outras exigências). Expliquei por que escolhi velocidades menores na sucção (redução de risco de cavitação e perdas) e um pouco maiores no recalque.
  • Em seguida apliquei Hazen–Williams (forma empírica apropriada para água em condutas relativamente lisas como ferro fundido, com C=110) para calcular as perdas reais, lembrando de somar os comprimentos equivalentes das válvulas/peças (dados =280\,D e 226\,D).
  • Finalmente calculei a potência hidráulica e converti para potência elétrica dividindo por \eta.

Resposta

D_{\mathrm{suc}}=0{,}20\\ \mathrm{m}
D_{\mathrm{rec}}=0{,}20\\ \mathrm{m}
Potência requerida ao motor P_{\mathrm{motor}}\approx 32{,}3\\ \mathrm{kW} (sugerir motor comercial de \mathbf{33\\ \mathrm{kW}}).

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