Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F} sobre a superficie S no caso em que:
\vec{F}(\vec{r})=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \hat{i}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \hat{J} e s é a superficie exterior a \vec{r}(\theta, \varphi)=(\operatorname{sen} \varphi \cos \theta, \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, \cos \varphi); ande \theta \in[0,2 \pi] e \varphi \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]. Sugestro:
Ajude-se confirmando que \vec{\nabla} \cdot \vec{F}=0 no dominio de \vec{F}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superfície S, que é a parte exterior da esfera unitária parametrizada por
\vec{r}(\theta,\varphi)=(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi),
com \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right]. A orientação é a exterior (normal apontando para fora da esfera).
  • O campo vetorial dado é
\vec{F}(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\;\hat{\imath}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\;\hat{\jmath}+0\;\hat{k}.
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • O denominador x^{2}+y^{2} não pode ser zero: o domínio de \vec{F} é \mathbb{R}^{3} menos o eixo z (os pontos com x=y=0 são singularidades).
    • Na superfície S parametrizada acima temos x^{2}+y^{2}=\sin^{2}\varphi. Como \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right], tem-se \sin\varphi\ge\tfrac{1}{2}>0. Logo x^{2}+y^{2}\neq0 em toda a superfície: o campo é bem definido e suave em S.
  • A sugestão pede também confirmar que \nabla\cdot\vec{F}=0 no domínio de \vec{F}.
A partir daqui começamos a calcular o fluxo passo a passo.

Passo 2

Confirmando que \nabla\cdot\vec{F}=0 no domínio de \vec{F}.
  • Escrevendo componentes:
\vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),\qquad F_{1}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\; F_{2}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\; F_{3}=0.
  • Usamos a definição da divergência:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
  • Calculamos \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x} com regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Analogamente,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Como F_{3}=0 temos \partial F_{3}/\partial z=0. Somando,
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0,
para todo ponto com x^{2}+y^{2}\neq0. Logo \nabla\cdot\vec{F}=0 no domínio de \vec{F}, como sugerido.

Passo 3

Como parametrizar S, normal e elemento de área na esfera unitária.
  • A superfície S é parte da esfera unitária. A parametrização já foi dada: \vec{r}(\theta,\varphi) com \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right].
  • Para a esfera de raio 1 o versor radial \hat{r} é exatamente o vetor unitário normal exterior. Em coordenadas cartesianas o vetor posição é igual ao normal unitário, isto é,
\hat{n}_{\text{exterior}}=\vec{r}(\theta,\varphi).
  • O elemento de área na esfera unitária é
dS=\sin\varphi\;d\varphi\;d\theta.
  • Portanto, o fluxo pela superfície orientada para fora é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/6}^{5\pi/6}\vec{F}(\vec{r}(\theta,\varphi))\cdot\vec{r}(\theta,\varphi)\;\sin\varphi\;d\varphi\;d\theta.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot\hat{n} diretamente na esfera.
  • Em pontos da esfera temos x=\sin\varphi\cos\theta e y=\sin\varphi\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=\sin^{2}\varphi.
  • Avaliando \vec{F} na superfície:
\vec{F}(\vec{r})=\frac{x}{\sin^{2}\varphi}\,\hat{\imath}+\frac{y}{\sin^{2}\varphi}\,\hat{\jmath}.
  • O vetor normal unitário exterior é \hat{n}=\vec{r}=(x,y,z) (com x,y,z na esfera). O produto escalar é
\vec{F}\cdot\hat{n} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,y+0\cdot z =\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1,
sempre que x^{2}+y^{2}\neq0. Como já observado, na faixa \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right] isso vale, então \vec{F}\cdot\hat{n}=1 em toda S.
Comentário didático rápido: esse passo é o truque da questão — ao projetar o campo sobre o normal da esfera unitária toda a fração se simplifica e sobra 1. Em prova é bom checar se x^{2}+y^{2} nunca zera na superfície antes de fazer essa simplificação.

Passo 5

Montar a integral do fluxo usando o resultado \vec{F}\cdot\hat{n}=1.
  • Substituindo em a integral de fluxo:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/6}^{5\pi/6} 1\cdot \sin\varphi\;d\varphi\;d\theta.

Passo 6

Calcular a integral dupla passo a passo.
  • Integramos primeiro em \varphi:
\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin\varphi\;d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/6}^{5\pi/6} =-\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right).
  • Usando \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
-\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
  • Agora integramos em \theta (fator constante):
\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3}\;d\theta=2\pi\sqrt{3}.

Passo 7

Interpretação final e observações úteis para a prova.
  • Resultado: o fluxo é a área da lapela esférica (porque \vec{F}\cdot\hat{n}=1), portanto igual à área superficial da região da esfera entre \varphi=\tfrac{\pi}{6} e \varphi=\tfrac{5\pi}{6}.
  • Observação sobre a divergência: apesar de \nabla\cdot\vec{F}=0 no domínio, não se pode aplicar diretamente o teorema da divergência a uma superfície aberta como S sem fechar a região; contudo, aqui não precisamos fechar porque o cálculo direto é simples. Também é importante checar singularidades: se a superfície tivesse incluído os polos ( x=y=0) o campo seria singular e a conta precisaria de cuidado (porém não é o caso).
  • Dica prática para a prova: sempre veja se \vec{F} tem estrutura que combina com a normal da superfície (aqui ficou \vec{F}\cdot\hat{n}=1); isso costuma economizar muito tempo.

Resposta

2\pi\sqrt{3}

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