Calcule o fluxo do campo vetorial
sobre a superficie
no caso em que:
e s é a superficie exterior a
; ande
e
. Sugestro:
Ajude-se confirmando que
no dominio de
.
Ajude-se confirmando que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície , que é a parte exterior da esfera unitária parametrizada por
com
e
. A orientação é a exterior (normal apontando para fora da esfera).
- O campo vetorial dado é
- Observações importantes extraídas do enunciado:
- O denominador
não pode ser zero: o domínio de é menos o eixo (os pontos com são singularidades). - Na superfície
parametrizada acima temos . Como , tem-se . Logo em toda a superfície: o campo é bem definido e suave em .
- O denominador
- A sugestão pede também confirmar que
no domínio de .
A partir daqui começamos a calcular o fluxo passo a passo.
Passo 2
Confirmando que
no domínio de
.
- Escrevendo componentes:
- Usamos a definição da divergência:
- Calculamos
com regra do quociente:
- Analogamente,
- Como
temos . Somando,
para todo ponto com
. Logo
no domínio de
, como sugerido.
Passo 3
Como parametrizar
, normal e elemento de área na esfera unitária.
- A superfície
é parte da esfera unitária. A parametrização já foi dada: com e . - Para a esfera de raio
o versor radial é exatamente o vetor unitário normal exterior. Em coordenadas cartesianas o vetor posição é igual ao normal unitário, isto é,
- O elemento de área na esfera unitária é
- Portanto, o fluxo pela superfície orientada para fora é
Passo 4
Calcular o produto escalar
diretamente na esfera.
- Em pontos da esfera temos
e . Então
- Avaliando
na superfície:
- O vetor normal unitário exterior é
(com na esfera). O produto escalar é
sempre que
. Como já observado, na faixa
isso vale, então
em toda
.
Comentário didático rápido: esse passo é o truque da questão — ao projetar o campo sobre o normal da esfera unitária toda a fração se simplifica e sobra
. Em prova é bom checar se
nunca zera na superfície antes de fazer essa simplificação.
Passo 5
Montar a integral do fluxo usando o resultado
.
- Substituindo em a integral de fluxo:
Passo 6
Calcular a integral dupla passo a passo.
- Integramos primeiro em
:
- Usando
e , obtemos
- Agora integramos em
(fator constante):
Passo 7
Interpretação final e observações úteis para a prova.
- Resultado: o fluxo é a área da lapela esférica (porque
), portanto igual à área superficial da região da esfera entre e . - Observação sobre a divergência: apesar de
no domínio, não se pode aplicar diretamente o teorema da divergência a uma superfície aberta como sem fechar a região; contudo, aqui não precisamos fechar porque o cálculo direto é simples. Também é importante checar singularidades: se a superfície tivesse incluído os polos ( ) o campo seria singular e a conta precisaria de cuidado (porém não é o caso). - Dica prática para a prova: sempre veja se
tem estrutura que combina com a normal da superfície (aqui ficou ); isso costuma economizar muito tempo.