3a Questão (15) Um paraquedas deve ser projetado de modo que sua massa somada à massa do paraquedista seja no máximo igual a 90 kg . Qual deve ser diâmetro mínimo do paraquedas para que a velocidade terminal de um salto não ultrapasse 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere o coeficiente de arrasto do conjunto C_{A}=1,2 e \rho_{\mathrm{ar}}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (dados extraídos do enunciado):
  • Pedido: determinar o diâmetro mínimo do paraquedas para que a velocidade terminal do conjunto paraquedista+paraquedas não ultrapasse \,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Dados:
    • Massa máxima do conjunto: m \le 90\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade terminal desejada: v_{\text{t}} = 5\\ \mathrm{m/s}.
    • Coeficiente de arrasto do conjunto: C_A = 1{,}2.
    • Densidade do ar: \rho_{\text{ar}} = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Aceleração da gravidade (valor padrão a usar): g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicação didática): equilíbrio de forças na velocidade terminal.
  • Quando o corpo atinge a velocidade terminal, a força de arrasto para cima equilibra o peso para baixo, ou seja:
\text{força de arrasto} = \text{peso}.ç
  • A expressão aproximada da força de arrasto aerodinâmico (para fluxo incompressível, regime usual de paraquedas) é
F_{\text{arrasto}} = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_A\,A\,v^2,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (aqui \rho_{\text{ar}}),
  • C_A é o coeficiente de arrasto (adimensional),
  • A é a área de referência (área projetada do paraquedas, em \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade relativa do ar (aqui a velocidade terminal).
  • O peso é
P = m g,
onde m é a massa total e g a aceleração da gravidade.
  • Igualando as forças em regime terminal:
m g = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_A\,A\,v_{\text{t}}^{2}.

Passo 3

Isolando a área A a partir da igualdade do passo anterior (aqui ensino a manipular a equação passo a passo):
  • Partindo de
m g = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_A\,A\,v_{\text{t}}^{2},
  • Multiplica-se ambos os lados por 2 para eliminar o \tfrac{1}{2}:
2 m g = \rho\,C_A\,A\,v_{\text{t}}^{2}.
  • Agora isola-se A dividindo pelos termos \rho\,C_A\,v_{\text{t}}^{2}:
A = \frac{2 m g}{\rho\,C_A\,v_{\text{t}}^{2}}.
Aqui A é a área mínima necessária para que, com a massa dada, a velocidade terminal seja no máximo v_{\text{t}}.

Passo 4

Substituição numérica para encontrar A. Vou usar m=90\\ \mathrm{kg} (caso crítico), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, C_A=1{,}2 e v_{\text{t}}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro calcule o numerador:
2 m g = 2\cdot 90 \cdot 9{,}81 = 1765{,}8.
(Unidade: \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} ao dividir depois, mas estaremos cuidando das unidades consistentes.)
  • Agora o denominador:
\rho\,C_A\,v_{\text{t}}^{2} = 1{,}2 \cdot 1{,}2 \cdot 5^{2} = 1{,}44 \cdot 25 = 36.
  • Portanto a área mínima:
A = \frac{1765{,}8}{36} = 49{,}05\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Relacionar área A com o diâmetro D e calcular D.
  • Para um paraquedas aproximado por uma seção circular projetada, a área projetada é
A = \frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro.
  • Isolando D:
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  • Substituindo A = 49{,}05\\ \mathrm{m^{2}}:
D = \sqrt{\frac{4 \cdot 49{,}05}{\pi}} = \sqrt{\frac{196{,}2}{\pi}}.
  • Avaliando numericamente:
\frac{196{,}2}{\pi} \approx 62{,}48, \qquad D \approx \sqrt{62{,}48} \approx 7{,}90\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação prática e observações finais (dicas para prova e projeto):
  • O resultado significa que, com os dados fornecidos, um paraquedas com diâmetro mínimo cerca de 7{,}9\\ \mathrm{m} garante que a velocidade terminal não ultrapasse 5\\ \mathrm{m/s} quando a massa total for 90\\ \mathrm{kg}.
  • Para a prova: a receita padrão é sempre igualar peso e arrasto, isolar A e depois converter A em diâmetro pela relação da área de um círculo. Mostre cada passo algebraicamente como fiz acima; escreva claramente os valores usados e calcule com cuidado.
  • Em projeto real, recomenda-se incluir folga de segurança (coeficiente de segurança) e considerar variação do C_A e da \rho com altitude/temperatura, mas para a questão dada usamos os valores constantes indicados no enunciado.

Resposta

D_{\min} \approx 7{,}90\\ \mathrm{m}

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