3a Questão (15) Um paraquedas deve ser projetado de modo que sua massa somada à massa do paraquedista seja no máximo igual a 90 kg . Qual deve ser diâmetro mínimo do paraquedas para que a velocidade terminal de um salto não ultrapasse
. Considere o coeficiente de arrasto do conjunto
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (dados extraídos do enunciado):
- Pedido: determinar o diâmetro mínimo do paraquedas para que a velocidade terminal do conjunto paraquedista+paraquedas não ultrapasse
. - Dados:
- Massa máxima do conjunto:
. - Velocidade terminal desejada:
. - Coeficiente de arrasto do conjunto:
. - Densidade do ar:
. - Aceleração da gravidade (valor padrão a usar):
.
- Massa máxima do conjunto:
Passo 2
Conceito físico essencial (explicação didática): equilíbrio de forças na velocidade terminal.
- Quando o corpo atinge a velocidade terminal, a força de arrasto para cima equilibra o peso para baixo, ou seja:
- A expressão aproximada da força de arrasto aerodinâmico (para fluxo incompressível, regime usual de paraquedas) é
onde:
-
é a densidade do fluido (aqui ), -
é o coeficiente de arrasto (adimensional), -
é a área de referência (área projetada do paraquedas, em ), -
é a velocidade relativa do ar (aqui a velocidade terminal). - O peso é
onde
é a massa total e
a aceleração da gravidade.
- Igualando as forças em regime terminal:
Passo 3
Isolando a área
a partir da igualdade do passo anterior (aqui ensino a manipular a equação passo a passo):
- Partindo de
- Multiplica-se ambos os lados por
para eliminar o :
- Agora isola-se
dividindo pelos termos :
Aqui
é a área mínima necessária para que, com a massa dada, a velocidade terminal seja no máximo
.
Passo 4
Substituição numérica para encontrar
. Vou usar
(caso crítico),
,
,
e
.
- Primeiro calcule o numerador:
(Unidade:
ao dividir depois, mas estaremos cuidando das unidades consistentes.)
- Agora o denominador:
- Portanto a área mínima:
Passo 5
Relacionar área
com o diâmetro
e calcular
.
- Para um paraquedas aproximado por uma seção circular projetada, a área projetada é
onde
é o diâmetro.
- Isolando
:
- Substituindo
:
- Avaliando numericamente:
Passo 6
Interpretação prática e observações finais (dicas para prova e projeto):
- O resultado significa que, com os dados fornecidos, um paraquedas com diâmetro mínimo cerca de
garante que a velocidade terminal não ultrapasse quando a massa total for . - Para a prova: a receita padrão é sempre igualar peso e arrasto, isolar
e depois converter em diâmetro pela relação da área de um círculo. Mostre cada passo algebraicamente como fiz acima; escreva claramente os valores usados e calcule com cuidado. - Em projeto real, recomenda-se incluir folga de segurança (coeficiente de segurança) e considerar variação do
e da com altitude/temperatura, mas para a questão dada usamos os valores constantes indicados no enunciado.