Uma indústria utiliza dois fluidos com densidades semelhantes para processos de bombeamento: óleo de silicone ( 940 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e óleo vegetal ( 930 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Ambos percorrem tubulações idênticas, com bombas idênticas, com a mesma vazăo e pressão, mas apresentam viscosidades diferentes: o óleo de silicone possui viscosidade dinâmica de 0,35 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}, enquanto o óleo vegetal apresenta 0,65 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}. Com base nisso responda
a. Qual a viscosidade cinemática de cada fluido (1 ponto)
b. Explique como a diferença na característica dos fluidos influencia no custo energético dos motores elétricos responsáveis pelo acionamento das bombas (1 ponto).

Passo 1

O enunciado dá dois fluidos e pede duas coisas (peguei esses números do enunciado):
  • Óleo de silicone: densidade \rho_{\text{sil}} = 940\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3; viscosidade dinâmica \mu_{\text{sil}} = 0,35\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Óleo vegetal: densidade \rho_{\text{veg}} = 930\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3; viscosidade dinâmica \mu_{\text{veg}} = 0,65\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a viscosidade cinemática de cada fluido (1 ponto).
(b) Explicar como a diferença de características (viscosidade) influencia no custo energético dos motores das bombas (1 ponto).

Passo 2

O que é viscosidade cinemática e fórmula que vamos usar:
  • Viscosidade cinemática \nu é a razão entre a viscosidade dinâmica \mu e a densidade \rho. Em palavras: é a “viscosidade por unidade de massa/volume”, útil porque combina efeito de resistência interna do fluido com sua massa.
  • Fórmula:
\nu = \frac{\mu}{\rho}
onde \nu tem unidades de \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, \mu está em \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^2 e \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Observação de unidades: 1\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 1\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m\cdot s}), então dividir por \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 produz \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, consistente.

Passo 3

Cálculo da viscosidade cinemática do óleo de silicone:
  • Usamos \mu_{\text{sil}} = 0,35\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \rho_{\text{sil}} = 940\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
\nu_{\text{sil}} = \frac{\mu_{\text{sil}}}{\rho_{\text{sil}}} = \frac{0,35}{940}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Faço a divisão:
\nu_{\text{sil}} \approx 0,0003723404\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • É comum também expressar \nu em milímetros quadrados por segundo (mm ^2/s), lembrando que 1\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} = 10^{6}\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}. Então
\nu_{\text{sil}} \approx 372,34\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da viscosidade cinemática do óleo vegetal:
  • Usamos \mu_{\text{veg}} = 0,65\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \rho_{\text{veg}} = 930\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
\nu_{\text{veg}} = \frac{\mu_{\text{veg}}}{\rho_{\text{veg}}} = \frac{0,65}{930}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Dividindo:
\nu_{\text{veg}} \approx 0,0006989247\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Em mm ^2/s:
\nu_{\text{veg}} \approx 698,92\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Comparação numérica rápida:
  • Em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}: \nu_{\text{sil}}\approx 3,72\times10^{-4} e \nu_{\text{veg}}\approx 6,99\times10^{-4}.
  • Razão entre as viscosidades cinemáticas:
\frac{\nu_{\text{veg}}}{\nu_{\text{sil}}}\approx \frac{0,0006989}{0,0003723}\approx 1,88.
Ou seja, a viscosidade cinemática do óleo vegetal é cerca de 1,88 vezes a do óleo de silicone.

Passo 6

Como a viscosidade afeta escoamento: conceito do número de Reynolds
  • Definição do número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média do fluido na tubulação e D é o diâmetro interno da tubulação.
  • Interpretação: quanto maior \nu (viscosidade cinemática) para um mesmo V e D, menor é \mathrm{Re}. Re baixo → regime laminar; Re alto → regime turbulento.
  • Consequência: mudança de \nu muda completamente o comportamento das perdas por atrito e, portanto, a potência necessária para bombear.

Passo 7

Relação entre viscosidade e perdas de carga (energia que a bomba precisa fornecer)
  • Em regime laminar (Re pequeno) a perda por atrito em um tubo é bem descrita pela lei de Poiseuille; para uma tubulação circular, a vazão Q para uma dada queda de pressão \Delta p tem dependência inversa de \mu. A forma simplificada é:
Q \propto \frac{\Delta p}{\mu}.
Ou visto de outro modo, para manter a mesma Q é necessário \Delta p \propto \mu. Logo, em laminar as perdas (e a potência necessária) crescem praticamente na razão direta com \mu.
  • Em regime turbulento, as perdas são normalmente estimadas pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde o fator de atrito f depende de \mathrm{Re} (e da rugosidade). A viscosidade entra indiretamente via \mathrm{Re}. Para fluidos mais viscosos o \mathrm{Re} é menor, o que geralmente aumenta f quando se aproxima da transição laminar/turbulenta; em plena turbulência o efeito de \mu é menos direto, mas ainda altera perdas e eficiência.
  • Potência hidráulica que a bomba entrega (idealmente):
P_{\text{hid}} = \Delta p \cdot Q.
A potência elétrica consumida pela bomba depende ainda da eficiência \eta da bomba/motor:
P_{\text{el}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Viscosidade maior tende a aumentar \Delta p necessário para manter Q e reduzir \eta (bombas perdem eficiência com fluidos muito viscosos), portanto P_{\text{el}} aumenta.

Passo 8

Interpretação prática (resposta direta à parte b), com estimativa simples
  • Porque o óleo vegetal tem \nu cerca de 1,88 vezes maior, em situação típica em que o escoamento esteja no regime laminar ou na região próxima da transição, as perdas por atrito e a potência requerida para manter a mesma vazão aumentam aproximadamente na mesma ordem (ou seja, pode-se esperar algo como até \sim 1,9 vezes mais potência hidráulica para a parte viscosa das perdas). Além disso, a eficiência da bomba geralmente cai com líquidos muito viscosos, aumentando ainda mais o consumo elétrico.
  • Em resumo: óleo mais viscoso → maiores perdas por atrito no sistema + menor eficiência da bomba → maior potência elétrica consumida e, portanto, maior custo energético. O efeito exato depende do regime de escoamento, do tipo de bomba e da configuração hidráulica, mas a tendência é clara e numericamente significativa aqui (viscosidade cinemática quase o dobro).

Passo 9

Dicas práticas e conclusão para uma prova (como justificar na resposta da faculdade)
  • Para (a): aplicar \nu=\mu/\rho e mostrar os cálculos numéricos (já feitos).
  • Para (b): argumentar com Re e com as fórmulas de perda (Poiseuille para laminar ou Darcy–Weisbach para geral) e citar que potência elétrica P_{\text{el}}=\Delta p\cdot Q/\eta; concluir que maior viscosidade aumenta perdas e reduz eficiência, elevando consumo e custo. Se pedirem uma estimativa, use a razão \nu_{\text{veg}}/\nu_{\text{sil}}\approx 1,88 como indicação da ordem de grandeza.

Resposta

(a) \nu_{\text{óleo de silicone}} \approx 3,72\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}ó (≈ 372{,}3\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}).
\nu_{\text{óleo vegetal}} \approx 6,99\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}ó (≈ 698{,}9\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}).
(b) Fluidos mais viscosos aumentam as perdas por atrito na tubulação e reduzem a eficiência da bomba; por isso a bomba/motor precisa fornecer mais potência elétrica para manter a mesma vazão, elevando o custo energético (neste caso o óleo vegetal, com \nu 1,88 vezes maior, tende a exigir consumo significativamente maior — ordem de grandeza ≈ 1,9 vezes em regimes dominados por viscosidade, dependendo do regime de escoamento e da bomba).

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