Considere uma barragem de água com 5 m de altura e 5 m de largura, cheia até o topo. Determine a força hidrostática que atua sobre esta barragem. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma barragem vertical retilínea com altura 5\\ \mathrm{m} e largura (comprimento horizontal) 5\\ \mathrm{m}, cheia até o topo. Pergunta-se: qual é a força hidrostática resultante que atua sobre a face vertical da barragem?
Informações fornecidas:
  • altura da face: H=5\\ \mathrm{m} (profundidade máxima da água),
  • largura da face (comprimento na direção perpendicular à altura): b=5\\ \mathrm{m},
  • a barragem está cheia até o topo (nível da água coincide com o bordo superior).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: a pressão hidrostática em um ponto submerso depende somente da profundidade. A fórmula é
p(y)=\rho g y,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (para água doce normalmente usa-se \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (usa-se g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • y é a profundidade medida a partir da superfície até o ponto considerado (em \mathrm{m}),
  • p(y) é a pressão em pascal ( \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}) no ponto a profundidade y.
Explicação curta: a pressão cresce linearmente com a profundidade porque o peso da coluna de água acima aumenta proporcionalmente a y.

Passo 3

Como a pressão varia com y, a força total sobre a face vertical é a integral da pressão sobre a área. Considere o eixo y medindo profundidade desde y=0 (superfície) até y=H (fundo). Um elemento horizontal de área da face é \mathrm{d}A = b\,\mathrm{d}y. O diferencial de força sobre esse elemento é
\mathrm{d}F = p(y)\,\mathrm{d}A = \rho g y \cdot b\,\mathrm{d}y.
Integrando de y=0 até y=H obtemos a força total:
F=\int_{0}^{H} \rho g y\, b\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Calcule a integral explicitamente. Como \rho, g e b são constantes:
F=\rho g b \int_{0}^{H} y\,\mathrm{d}y = \rho g b \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{H} = \rho g b \frac{H^{2}}{2}.
Comentário didático: essa expressão também pode ser interpretada como “pressão em profundidade média (profundidade do centróide, H/2) vezes a área”: F = p(H/2)\cdot (bH) = \rho g (H/2)\cdot bH = \rho g b H^{2}/2. Ambas as formas são equivalentes para uma face plana vertical.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, b=5\\ \mathrm{m}, H=5\\ \mathrm{m}. Então:
F = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 5 \cdot \frac{5^{2}}{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{5^{2}}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5,
b\cdot\frac{H^{2}}{2}=5\cdot 12{,}5 = 62{,}5\\ \mathrm{m^{3}},
\rho g \cdot 62{,}5 = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 62{,}5 = 9{,}81 \cdot 62{,}5 \cdot 1000.
Agora 9{,}81\cdot 62{,}5 = 613{,}125. Multiplicando por 1000:
F = 613{,}125\cdot 1000 = 613\,125\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação final e unidade: a força hidrostática resultante atua horizontalmente sobre a face da barragem, com intensidade 613\,125\\ \mathrm{N}, que é aproximadamente 613{,}1\\ \mathrm{kN}. Esta é a força total exercida pela água na face vertical completa de 5\times5\\ \mathrm{m}.

Resposta

613\,125\\ \mathrm{N}

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