Questão (20) Ar escoa isentropicamente por um bocal convergente com área de saída de
a partir de um reservatório com condições de estagnação de 150 kPa e 400 K até a saída cuja pressão é igual a 100 kPa (pressões absolutas). Calcule a temperatura e o número de Mach na saída e a vazão em massa do bocal.
Passo 1
O enunciado pede para um escoamento isentrópico de ar por um bocal convergente: calcular (i) a temperatura na saída, (ii) o número de Mach na saída e (iii) a vazão mássica no bocal. As informações fornecidas são:
- pressão de estagnação (reservatório):
(pressão absoluta); - temperatura de estagnação:
; - pressão estática na saída:
(pressão absoluta); - área de saída:
.
Também será usado o ar como gás perfeito com constantes comuns: - razão de capacidades térmicas
; - constante dos gases para o ar
.
Passo 2
Resumo do que vamos usar e justificativa do método (sem resolver ainda):
- O escoamento é isentrópico, então as relações isentrópicas para gás ideal valem entre condições de estagnação e qualquer ponto do escoamento:
e Aqui e são pressão e temperatura de estagnação; , são pressão e temperatura estáticas no ponto considerado; é o número de Mach local. - Vamos primeiro obter
resolvendo a primeira relação para . Em seguida usamos a segunda relação para obter . - Finalmente calculamos a vazão mássica
pela expressão onde é a densidade estática na saída e é a velocidade absoluta, obtida por com . - Também verificaremos se o bocal está ou não estrangulado (choked): para choking é necessário
, onde é a pressão estática quando . Calculamos e comparamos com .
Passo 3
Derivar e manipular a relação isentrópica para encontrar
a partir da razão de pressões
.
A relação isentrópica usada é
Isolando o termo
obtemos
Subtraindo 1 e resolvendo para
:
Passo 4
Aplicar os valores numéricos para calcular
.
Primeiro a razão de pressões:
Calcular o expoente
.
Então
Então
Calculemos numericamente:
Logo
Como
, temos
Explicação didática: foi usada a relação isentrópica que conecta razão de pressões com Mach; tirar a potência é equivalente a aplicar raiz com expoente inverso (aqui
). Depois isolou-se
. Resultado indica escoamento sub-sônico na saída (
), coerente com um bocal convergente não estrangulado.
Passo 5
Calcular a temperatura estática na saída
usando a relação isentrópica temperatura-Mach.
Relação:
Substituindo
,
e
:
Portanto
Didática: a temperatura estática cai quando a velocidade aumenta (energia interna convertida em energia cinética); a relação isentrópica dá quantitaivamente essa queda em função de
.
Passo 6
Calcular velocidade local
através do número de Mach e da velocidade do som
.
A velocidade do som é
Substituindo números:
Logo a velocidade do escoamento
Explicação:
vem da termodinâmica/gás perfeito e define a velocidade de perturbações acústicas no meio;
multiplica essa velocidade para dar a velocidade do fluxo.
Passo 7
Calcular a densidade estática na saída
usando a equação dos gases ideais:
Com
,
,
:
Didática: densidade vem diretamente da equação de estado do gás perfeito.
Passo 8
Calcular a vazão mássica
:
Substituindo os valores:
Interpretação prática: cerca de 0,145 kg de ar passam por segundo pelo bocal nas condições dadas.
Passo 9
Verificação se o bocal está estrangulado (choked). Calcular a pressão crítica
correspondente a
:
Portanto
.
Como , o bocal NÃO está choked; isso é consistente com
. Portanto a solução obtida é física e única para o caso subsonico.
Como