5{ }^{\text {a }} Questão (20) Ar escoa isentropicamente por um bocal convergente com área de saída de 5 \mathrm{~cm}^{2} a partir de um reservatório com condições de estagnação de 150 kPa e 400 K até a saída cuja pressão é igual a 100 kPa (pressões absolutas). Calcule a temperatura e o número de Mach na saída e a vazão em massa do bocal.

Passo 1

O enunciado pede para um escoamento isentrópico de ar por um bocal convergente: calcular (i) a temperatura na saída, (ii) o número de Mach na saída e (iii) a vazão mássica no bocal. As informações fornecidas são:
  • pressão de estagnação (reservatório): p_0 = 150\\ \text{kPa} (pressão absoluta);
  • temperatura de estagnação: T_0 = 400\\ \text{K};
  • pressão estática na saída: p_e = 100\\ \text{kPa} (pressão absoluta);
  • área de saída: A_e = 5\\ \text{cm}^2 = 5\cdot10^{-4}\\ \text{m}^2.
    Também será usado o ar como gás perfeito com constantes comuns:
  • razão de capacidades térmicas \gamma = 1{,}4;
  • constante dos gases para o ar R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Resumo do que vamos usar e justificativa do método (sem resolver ainda):
  • O escoamento é isentrópico, então as relações isentrópicas para gás ideal valem entre condições de estagnação e qualquer ponto do escoamento: \frac{p_0}{p}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}e \frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}.Aqui \;p_0 e T_0 são pressão e temperatura de estagnação; p, T são pressão e temperatura estáticas no ponto considerado; M é o número de Mach local.
  • Vamos primeiro obter M_e resolvendo a primeira relação para p=p_e. Em seguida usamos a segunda relação para obter T_e.
  • Finalmente calculamos a vazão mássica \dot{m} pela expressão \dot{m}=\rho_e\,A_e\,u_e,onde \rho_e é a densidade estática na saída e u_e é a velocidade absoluta, obtida por u_e=M_e a_e com a_e=\sqrt{\gamma R T_e}.
  • Também verificaremos se o bocal está ou não estrangulado (choked): para choking é necessário p_e\le p^*, onde p^* é a pressão estática quando M=1. Calculamos p^* = p_0\big/ \left(1+\tfrac{\gamma-1}{2}\cdot1^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)} e comparamos com p_e.

Passo 3

Derivar e manipular a relação isentrópica para encontrar M_e a partir da razão de pressões \dfrac{p_0}{p_e}.
A relação isentrópica usada é
\frac{p_0}{p_e}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Isolando o termo 1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_e^{2} obtemos
1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}=\left(\frac{p_0}{p_e}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Subtraindo 1 e resolvendo para M_e^2:
M_e^{2}=\frac{2}{\gamma-1}\left[\left(\frac{p_0}{p_e}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-1\right].

Passo 4

Aplicar os valores numéricos para calcular M_e.
Primeiro a razão de pressões:
\frac{p_0}{p_e}=\frac{150\\ \text{kPa}}{100\\ \text{kPa}}=1{,}5.
Calcular o expoente \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{0{,}4}{1{,}4}= \dfrac{2}{7}\approx0{,}285714.
Então
1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}=\left(1{,}5\right)^{\tfrac{2}{7}}.
Calculemos numericamente:
\left(1{,}5\right)^{\tfrac{2}{7}}\approx 1{,}1228\quad(\text{aprox.}).
Logo
\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}=1{,}1228-1=0{,}1228.
Como \dfrac{\gamma-1}{2}=0{,}2, temos
M_e^{2}=\frac{0{,}1228}{0{,}2}=0{,}614, \qquad M_e\approx\sqrt{0{,}614}\approx0{,}784.
Explicação didática: foi usada a relação isentrópica que conecta razão de pressões com Mach; tirar a potência é equivalente a aplicar raiz com expoente inverso (aqui 1/(\gamma/(\gamma-1))=(\gamma-1)/\gamma). Depois isolou-se M^2. Resultado indica escoamento sub-sônico na saída ( M_e<1 ), coerente com um bocal convergente não estrangulado.

Passo 5

Calcular a temperatura estática na saída T_e usando a relação isentrópica temperatura-Mach.
Relação:
\frac{T_0}{T_e}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}.
Substituindo T_0=400\\ \text{K}, \dfrac{\gamma-1}{2}=0{,}2 e M_e^{2}=0{,}614:
1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^{2}=1+0{,}2\cdot0{,}614=1{,}1228.
Portanto
T_e=\frac{T_0}{1{,}1228}=\frac{400}{1{,}1228}\approx356{,}2\\ \text{K}.
Didática: a temperatura estática cai quando a velocidade aumenta (energia interna convertida em energia cinética); a relação isentrópica dá quantitaivamente essa queda em função de M.

Passo 6

Calcular velocidade local u_e através do número de Mach e da velocidade do som a_e.
A velocidade do som é
a_e=\sqrt{\gamma R T_e}.
Substituindo números:
a_e=\sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 356{,}2}\approx\sqrt{143121{,}2}\approx378{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Logo a velocidade do escoamento
u_e=M_e a_e\approx 0{,}784\cdot378{,}3\approx296{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: a=\sqrt{\gamma R T} vem da termodinâmica/gás perfeito e define a velocidade de perturbações acústicas no meio; M multiplica essa velocidade para dar a velocidade do fluxo.

Passo 7

Calcular a densidade estática na saída \rho_e usando a equação dos gases ideais:
\rho_e=\frac{p_e}{R T_e}.
Com p_e=100000\\ \mathrm{Pa}, R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_e=356{,}2\\ \mathrm{K}:
\rho_e=\frac{100000}{287\cdot356{,}2}\approx\frac{100000}{102229{,}4}\approx0{,}9782\\ \mathrm{kg/m^3}.
Didática: densidade vem diretamente da equação de estado do gás perfeito.

Passo 8

Calcular a vazão mássica \dot{m}:
\dot{m}=\rho_e A_e u_e.
Substituindo os valores:
\dot{m}\approx 0{,}9782\cdot 5\cdot10^{-4}\cdot 296{,}5 \approx 0{,}1450\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação prática: cerca de 0,145 kg de ar passam por segundo pelo bocal nas condições dadas.

Passo 9

Verificação se o bocal está estrangulado (choked). Calcular a pressão crítica p^* correspondente a M=1:
\frac{p_0}{p^*}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\cdot1^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}=(1+0{,}2)^{3{,}5}=1{,}2^{3{,}5}\approx1{,}891.
Portanto p^* = \dfrac{p_0}{1{,}891}\approx \dfrac{150\\ \text{kPa}}{1{,}891}\approx79{,}3\\ \text{kPa}.
Como p_e=100\\ \text{kPa} > p^*, o bocal NÃO está choked; isso é consistente com M_e<1. Portanto a solução obtida é física e única para o caso subsonico.

Resposta

T_e\approx356{,}2\\ \text{K}
M_e\approx0{,}784
\dot{m}\approx0{,}1450\\ \mathrm{kg/s}

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