3a Questão: Em um certo instante, o raio de um cilindro circular reto é 6 cm e está aumentando a uma taxa de 0,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, enquanto a altura é 8 cm e está diminuindo a uma taxa de 0,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Calcule a taxa de variação em relação ao tempo:
a) do volume
da área da superfície

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro circular reto cujo raio r e altura h variam com o tempo. No instante considerado temos r=6\\ \mathrm{cm}, \dfrac{dr}{dt}=0,2\\ \mathrm{cm/s}, h=8\\ \mathrm{cm}, \dfrac{dh}{dt}=-0,4\\ \mathrm{cm/s}.
Queremos as taxas de variação do volume V e da área de superfície total A. O conteúdo envolvido é derivada implícita (regra da cadeia) aplicada a funções de várias variáveis.

Passo 2

A fórmula do volume é
V = \pi r^2 h.
Para achar \dfrac{dV}{dt} aplicamos a derivada em relação a t, tratando r e h como funções de t:
\frac{dV}{dt} = \pi\bigl(2r\,h\,\frac{dr}{dt} + r^2\,\frac{dh}{dt}\bigr).

Passo 3

Substituindo r=6, h=8, \dfrac{dr}{dt}=0,2 e \dfrac{dh}{dt}=-0,4:
\frac{dV}{dt} = \pi\bigl(2\cdot6\cdot8\cdot0,2 + 6^2\cdot(-0,4)\bigr) = \pi\bigl(19,2 - 14,4\bigr) = 4,8\pi\\ \mathrm{cm^3/s}.

Passo 4

A área de superfície total (incluindo as duas bases e a lateral) é
A = 2\pi r^2 + 2\pi r h.
Derivando em relação a t:
\frac{dA}{dt} = 2\pi\bigl(2r\,\frac{dr}{dt}\bigr) +2\pi\bigl(h\,\frac{dr}{dt}+r\,\frac{dh}{dt}\bigr) = \bigl(4\pi r + 2\pi h\bigr)\frac{dr}{dt} +2\pi r\,\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Agora, com r=6, h=8, \dfrac{dr}{dt}=0,2 e \dfrac{dh}{dt}=-0,4:
\frac{dA}{dt} = \bigl(4\pi\cdot6 + 2\pi\cdot8\bigr)\!0,2 +2\pi\cdot6\cdot(-0,4) = \bigl(24\pi+16\pi\bigr)0,2 -4,8\pi = 8\pi -4,8\pi =3,2\pi\\ \mathrm{cm^2/s}.

Resposta

(a) \dfrac{dV}{dt}=4,8\pi\\ \mathrm{cm^3/s}.
(b) \dfrac{dA}{dt}=3,2\pi\\ \mathrm{cm^2/s}.

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