5 Questão: Esboce as curvas de nível da função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} para os valores de
\mathrm{K}=-1,0,4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível (na verdade superfícies de nível) da função
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
para os valores de K=-1, K=0 e K=4. Vamos usar o fato de que a equação
x^2+y^2+z^2 = K
representa uma esfera de raio \sqrt{K} se K>0, degenera para um ponto se K=0 e não tem soluções reais se K<0.

Passo 2

Para K=-1 a curva de nível satisfaz
x^2+y^2+z^2 = -1.
Como soma de quadrados não pode ser negativa, não há pontos reais que verifiquem essa igualdade. Logo, o conjunto de nível é o conjunto vazio.

Passo 3

Para K=0 a curva de nível satisfaz
x^2+y^2+z^2 = 0.
Isso só ocorre quando x=0, y=0 e z=0. Portanto, o conjunto de nível é o ponto (0,0,0).

Passo 4

Para K=4 a curva de nível satisfaz
x^2+y^2+z^2 = 4.
Essa equação define a esfera de raio \sqrt{4}=2 centrada na origem do espaço.

Resposta

Para K=-1 o conjunto de nível é vazio.
Para K=0 o conjunto de nível é o ponto (0,0,0).
Para K=4 o conjunto de nível é a esfera de raio 2 centrada na origem.

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