2 { }^{\mathrm{a}} Questão: Análise a função \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left\{\begin{array}{c}\frac{3 x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \text {, se }(x, y, z) \neq(0,0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y, z)=(0,0,0)\end{array}\right. e verifique se é contínua no ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)= \begin{cases} \dfrac{3\,x\,y\,z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},&\text{se }(x,y,z)\neq(0,0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y,z)=(0,0,0). \end{cases}
Queremos verificar se f é contínua em (0,0,0). Para isso vamos analisar o limite de f(x,y,z) quando (x,y,z)\to(0,0,0) e compará-lo com f(0,0,0)=0.]

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade num ponto, f é contínua em (0,0,0) se e somente se
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=f(0,0,0)=0.
Vamos então estimar \bigl|f(x,y,z)\bigr| para mostrar que esse limite é zero.

Passo 3

Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Então, para (x,y,z)\neq(0,0,0),
\bigl|f(x,y,z)\bigr| = \frac{\bigl|3\,x\,y\,z\bigr|}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \le \frac{3\,|x|\,|y|\,|z|}{r^{2}}.
Como |x|\le r, |y|\le r e |z|\le r, segue
|x\,y\,z|\le r^{3},
portanto
\bigl|f(x,y,z)\bigr|\le \frac{3\,r^{3}}{r^{2}}=3\,r.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/3. Se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta, então
\bigl|f(x,y,z)\bigr|\le 3\,r<3\,\delta=\varepsilon.
Isso mostra que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=0=f(0,0,0),
logo f é contínua em (0,0,0).

Resposta

A função f é contínua no ponto (0,0,0).

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