3a Questão: Determine a solução geral de
d yd x=yx Ln x

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx = yxln x. O conteúdo envolvido é equações diferenciais separáveis: precisamos deixar todas as dependências de y de um lado e de x de outro para então integrar.

Passo 2

Reorganizamos a equação separando as variáveis. Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx, obtemos
1y,dy = 1xln x,dx
Isso faz com que o lado esquerdo envolva apenas y e o direito apenas x.

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado de y temos
integral 1y,dy = ln|y|
No lado de x precisamos calcular
integral 1xln x,dx
Para isso fazemos a substituição t = ln x, logo dt = 1x,dx. Assim
integral 1xln x,dx = integral 1t,dt = ln|t| + C = ln|ln x| + C

Passo 4

Igualando as integrais, obtemos
ln|y| = ln|ln x| + C
Exponenciando ambos os lados resulta
|y| = e^C |ln x| = C',ln x,
onde C' = e^C é uma constante positiva. Permitindo sinal geral, escrevemos y = Kln x com K constante real.

Resposta

y(x) = C \ln x, onde C é uma constante de integração.

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