3a Questão: Determine a solução geral de
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais separáveis: precisamos deixar todas as dependências de
de um lado e de
de outro para então integrar.
Passo 2
Reorganizamos a equação separando as variáveis. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos
Isso faz com que o lado esquerdo envolva apenas
e o direito apenas
.
Passo 3
Integramos os dois lados. No lado de
temos
No lado de
precisamos calcular
Para isso fazemos a substituição
, logo
. Assim
Passo 4
Igualando as integrais, obtemos
Exponenciando ambos os lados resulta
onde
é uma constante positiva. Permitindo sinal geral, escrevemos
com
constante real.
Resposta
y(x) = C \ln x, onde C é uma constante de integração.