Use a definição de diferenciabilidade de uma função para mostrar que f(x, y)=x y+x^2 y^2 é diferenciável no ponto (2,3) e calcule f^prime(2,3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=xy + x^2y^2
é diferenciável em (2,3) usando a definição de diferenciabilidade e calcular o diferencial f'(2,3). Para isso vamos lembrar que f é diferenciável em (x0,y0) se existe um mapa linear L tal que, ao denotar (h,k)=(x-x0,y-y0), valha
f(x0+h,y0+k) - f(x0,y0) = L(h,k) + ol(|(h,k)|r)

Passo 2

Defina (h,k)=(x-2,y-3). Então
f(2+h,3+k) = (2+h)(3+k) + (2+h)^2(3+k)^2
Calculando cada termo:
(2+h)(3+k) = 6 + 3h + 2k + hk,
(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2, (3+k)^2 = 9 + 6k + k^2
Logo
(2+h)^2(3+k)^2 = (4+4h+h^2)(9+6k+k^2) =36 +36h +24k +9h^2 +25,hk +4k^2 + termos de ordem >=3
Somando tudo:
f(2+h,3+k) =42 + 39h + 26k ;+; R(h,k),
onde 42 = f(2,3) e R(h,k) agrupa os termos de ordem >=2 além de 39h+26k.

Passo 3

Identificamos o mapa linear candidato
L(h,k) = 39h + 26k,
pois ele corresponde aos coeficientes lineares em h e k. O resto é
R(h,k) = 25,hk +4k^2 +9h^2 + termos de grau >=3
Precisamos mostrar que
R(h,k)raizh^2+k^2 to 0 quando (h,k)to(0,0)

Passo 4

Note que |(h,k)|=raizh^2+k^2=rho e |h|<=rho, |k|<=rho. Então
|R(h,k)| <= 25|h||k| +4k^2 +9h^2 + C,rho^3 <= (25+4+9)rho^2 + C,rho^3 =38,rho^2 + C,rho^3,
para algum C>0. Logo
|R(h,k)|rho <= 38,rho + C,rho^2 ;longrightarrow;0 (rhoto0)
Isto mostra que R(h,k)=o(rho) e, portanto, f é diferenciável em (2,3).

Passo 5

Concluímos que o diferencial de f em (2,3) é o mapa linear
f'(2,3)(h,k) = 39,h + 26,k,
ou seja, sua matriz jacobiana em (2,3) é l[39;;26r].

Resposta

A função f é diferenciável em (2,3) e
f'(2,3)(h,k) = 39,h + 26,k

Exercícios relacionados