Use a definição de diferenciabilidade de uma função para mostrar que
é diferenciável no ponto
e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
usando a definição de diferenciabilidade e calcular o diferencial
. Para isso vamos lembrar que
é diferenciável em
se existe um mapa linear
tal que, ao denotar
, valha
Passo 2
Defina
. Então
Calculando cada termo:
Logo
Somando tudo:
onde
e
agrupa os termos de ordem
além de
.
Passo 3
Identificamos o mapa linear candidato
pois ele corresponde aos coeficientes lineares em
e
. O resto é
Precisamos mostrar que
Passo 4
Note que
e
,
. Então
para algum
. Logo
Isto mostra que
e, portanto,
é diferenciável em
.
Passo 5
Concluímos que o diferencial de
em
é o mapa linear
ou seja, sua matriz jacobiana em
é
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e