Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=tan x
lim x -infty f(x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto -infty tan x
Vamos usar limites em infinito para função periódica e o critério sequencial para mostrar existência ou não do limite.

Passo 2

Lembrando que tan x é pi-periódica, ou seja,
tan(x+pi)=tan x
para todo x. Uma função periódica que não se estabiliza num único valor ao ir para -infty normalmente não tem limite. Para provar isso formalmente, usamos o critério sequencial: se existirem duas sequências que tendem a -infty cujos valores de tan x tenham limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Considere a sequência
xn = -npi
Como tan é pi-periódica,
tan(xn) = tan(-npi) = 0
Logo
limntoinftytan(xn) = 0

Passo 4

Agora considere
yn = -npi - pi4
Então
tan(yn) = tanl(-npi - tfracpi4r) = tanl(-tfracpi4r) = -1
Logo
limntoinftytan(yn) = -1

Passo 5

Como encontramos duas sequências xnto -infty para as quais tan(xn) tende a 0 e a -1, valores diferentes, concluímos que não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

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