3a Questão: Uma embarcação de 9 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m} de base e 2 m de altura, já carregada, possui um peso total de 50 tf. O centro de gravidade desta embarcação carregada fica a 1,5 metros do fundo da embarcação. Quais serão as condições de estabilidade desta embarcação? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado descreve uma embarcação de base 9\,\mathrm m\times4\,\mathrm m, altura 2\,\mathrm m, peso total 50 tf e centro de gravidade G a 1{,}5\,\mathrm m do fundo. Vamos aplicar o critério de estabilidade inicial, que exige que o braço metacêntrico GM seja positivo. Para isso precisamos calcular
  1. o volume de deslocamento V,
  2. o momento de inércia do plano de flutuação I,
  3. o raio metacêntrico BM=I/V,
  4. a posição do centro de flutuabilidade B,
  5. o braço BG e, finalmente,
  6. o valor de GM=BM-BG.

Passo 2

Calcular o volume de água deslocado V. Como 1 tf equivale a 1000 kg e a densidade da água é 1000 kg/m ^3, a massa da embarcação é
m = 50\,\mathrm{tf}\times1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{tf}} = 50000\,\mathrm{kg},
e o volume deslocado é
V = \frac{m}{\rho} = \frac{50000}{1000} = 50\;\mathrm m^3.

Passo 3

Determinar o momento de inércia I do plano de flutuação em torno de um eixo longitudinal (eixo x). O plano de flutuação é um retângulo de comprimento L=9\,\mathrm m e boca B=4\,\mathrm m, e
I = L\,\frac{B^3}{12} = 9\cdot\frac{4^3}{12} = 9\cdot\frac{64}{12} = 48\;\mathrm m^4.

Passo 4

Calcular o raio metacêntrico vertical BM pela fórmula
BM = \frac{I}{V} = \frac{48}{50} = 0{,}96\;\mathrm m.

Passo 5

Determinar a cota de imersão d. A área do plano de flutuação é A=9\cdot4=36\;\mathrm m^2, logo
d = \frac{V}{A} = \frac{50}{36}\approx1{,}3889\;\mathrm m.

Passo 6

Calcular a posição do centro de flutuabilidade B. Em um corpo prismático de imersão uniforme, B fica no meio da cota de imersão, isto é,
KB = \frac{d}{2} = \frac{1{,}3889}{2}\approx0{,}6944\;\mathrm m
acima do fundo. Como G está a KG=1{,}5\,\mathrm m do fundo, o braço BG vale
BG = KG - KB = 1{,}5 - 0{,}6944 = 0{,}8056\;\mathrm m.

Passo 7

Calcular o braço metacêntrico GM:
GM = BM - BG = 0{,}96 - 0{,}8056 = 0{,}1544\;\mathrm m.

Passo 8

Condição de estabilidade inicial: a embarcação é estável se e somente se GM>0. Encontramos
GM = 0{,}1544\;\mathrm m > 0,
logo a embarcação está em estabilidade inicial.

Resposta

A embarcação apresenta estabilidade inicial, pois seu braço metacêntrico GM\approx0{,}1544\;\mathrm m é positivo.

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