3a Questão

a) Explique o que são os conceitos de trabalho, energia cinética e energia potencial.
b) Dê uma demonstração do teorema trabalho-energia cinética.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) explicar os conceitos de trabalho, energia cinética e energia potencial;
b) demonstrar o teorema trabalho–energia cinética.
Para isso vamos precisar da definição de trabalho de uma força num deslocamento, da expressão da energia cinética de uma partícula e da ideia de energia potencial para forças conservativas, além da segunda lei de Newton.

Passo 2

Trabalho de uma força. Se uma força \mathbf{F} age sobre uma partícula que se desloca de \mathbf{r}_1 até \mathbf{r}_2, o trabalho realizado é
W = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.
Em forma diferencial, \mathrm{d}W = \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}. Isso mede a energia transferida pela força ao longo do trajeto.

Passo 3

Energia cinética. Para uma partícula de massa m com velocidade \mathbf{v}, define-se a energia cinética como
T = \tfrac12\,m\,v^2,
onde v = \|\mathbf{v}\|. Essa energia representa a capacidade que a partícula tem de realizar trabalho devido ao seu movimento.

Passo 4

Energia potencial. Para forças conservativas existe uma função escalar U(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{F} = -\nabla U(\mathbf{r}).
A energia potencial U guarda a energia que pode ser convertida em trabalho quando a partícula se desloca no campo de força.

Passo 5

Demonstração do teorema trabalho–energia cinética. Partindo de
\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} e da segunda lei de Newton \mathbf{F}=m\,\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t, temos
\mathrm{d}W = m\,\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = m\,\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}t,
pois \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{v}\,\mathrm{d}t. Logo
W = \int_{t_1}^{t_2} m\,\mathbf{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_2} m\,\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{v} = \bigl[\tfrac12\,m\,v^2\bigr]_{v_1}^{v_2} = T_2 - T_1.
Concluímos que o trabalho total W realizado sobre a partícula é igual à variação da energia cinética \Delta T.

Resposta

(a) Trabalho é a integral do produto escalar da força pelo deslocamento, \mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}. Energia cinética é T=\tfrac12\,m\,v^2. Energia potencial U(\mathbf{r}) existe para forças conservativas, com \mathbf{F}=-\nabla U.
(b) Pelo uso de \mathbf{F}=m\,\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t em \mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} e integrando, obtém-se
W = T_2 - T_1,
ou seja, o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética.

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