4{ }^{\mathrm{a}} Questão

Uma corda é usada para baixar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso, com uma aceleração constante para baixo de g / 6. Após o bloco descer uma distância d, determine:
a) O trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco;
b) O trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco;
c) A energia cinética do bloco;
d) A velocidade do bloco.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de massa M é baixado do repouso com aceleração constante para baixo de a = g/6, em que g é a aceleração da gravidade. Ele desce uma distância d. Vamos usar estas ferramentas:
  1. Segunda lei de Newton para forças constantes em uma dimensão;
  2. Definição de trabalho de uma força constante;
  3. Teorema trabalho–energia cinética;
  4. Relação entre energia cinética e velocidade.

Passo 2

Determine a tensão na corda. Escolhendo o sentido positivo para baixo, as forças são: peso para baixo de módulo Mg e tensão para cima de módulo T. Pela segunda lei de Newton:
\sum F = Mg - T = M\,a = M\frac{g}{6}.
Logo,
T = M\Bigl(g - \frac{g}{6}\Bigr) = \frac{5}{6}\,M\,g.

Passo 3

Calcule o trabalho da força da corda. A força da corda aponta para cima e o deslocamento \Delta \vec s é para baixo com módulo d, formando ângulo de 180^\circ. Então
W_{\text{corda}} = T\,d\cos180^\circ = -T\,d = -\frac{5}{6}M g\,d.

Passo 4

Calcule o trabalho da força gravitacional (peso). Aqui a força peso e o deslocamento têm a mesma direção (ângulo 0^\circ), ambos para baixo, de modo que
W_{\text{peso}} = (Mg)\,d\cos0^\circ = M g\,d.

Passo 5

Use o teorema trabalho–energia cinética: o trabalho total é a soma dos trabalhos das forças e equivale à variação da energia cinética. Como a energia cinética inicial é zero, temos
W_{\text{total}} = W_{\text{peso}} + W_{\text{corda}} = M g\,d - \frac{5}{6}M g\,d = \frac{1}{6}M g\,d = \Delta K = K_{\!f}.

Passo 6

Encontre a velocidade final. Como K_{\!f} = \tfrac12 M v^2, igualamos a energia cinética ao resultado anterior:
\frac12 M v^2 = \frac{1}{6}M g\,d \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{1}{3}g\,d \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{g\,d}{3}}.

Resposta

(a) W_{\text{corda}} = -\tfrac{5}{6}M g\,d
(b) W_{\text{peso}} = M g\,d
(c) K = \tfrac{1}{6}M g\,d
(d) v = \sqrt{\tfrac{g\,d}{3}}

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