3a Questão (2,0 pts) \iint_{R} 6 A, onde R é a região limitada pela elipse 9 x^{2}+4 y^{2}=36. Sugerindo uma mudança de coordenadas: x=2 u, y=3 v.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral dupla \iint_{R} 6\,dA, onde R é a região limitada pela elipse 9x^{2}+4y^{2}=36. Foi sugerida a mudança de coordenadas
x=2u,\qquad y=3v.
Informações relevantes dadas:
\text{Região: }9x^{2}+4y^{2}=36.
\text{Integrando: }6\\ \text{(constante) sobre a região }R.
\text{Mudança sugerida: }x=2u,\\ y=3v.
Passo 2
Transformar a equação da elipse com a mudança x=2u,\\ y=3v. Substituo na equação da elipse:
9x^{2}+4y^{2}=36
9(2u)^{2}+4(3v)^{2}=36
9\cdot 4u^{2}+4\cdot 9v^{2}=36
36u^{2}+36v^{2}=36
Dividindo ambos os lados por 36,
u^{2}+v^{2}=1.
Conclusão: sob a mudança dada, a região R vira o disco unitário no plano (u,v):
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Passo 3
Explicar e calcular o Jacobiano (fórmula para trocar o elemento de área). Quando fazemos a mudança
x=x(u,v),\qquad y=y(u,v),
o elemento de área transforma-se por
dA = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.
Aqui
x(u,v)=2u,\qquad y(u,v)=3v.
A matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é a matriz das derivadas parciais:
Comentário didático rápido: isso significa que um pequeno retângulo de área du\,dv no plano (u,v) é levado a um retângulo de área 6\,du\,dv no plano (x,y) pelas escalas 2 e 3.]
Passo 4
Trocar a integral original pela integral no disco D. A integral original é
Ou seja, a integral fica a integral de uma constante 36 sobre o disco unitário D.
Passo 5
Calcular a integral sobre o disco unitário. Há duas formas diretas: (A) usar coordenadas polares em (u,v) ou (B) notar que é constante e igual a constante vezes a área do disco. Vou mostrar as duas rapidamente.
A) Usando área do disco: a área de D é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Então
B) Usando coordenadas polares (u=r\cos\theta,\\ v=r\sin\theta): o elemento du\,dv vira r\,dr\,d\theta e os limites são 0\le r\le 1,\\\ 0\le\theta\le 2\pi. Assim