Questão.(2,5 pts) Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=4, utilizando:
(a) Escrever a integral cm coordenadas cartesianas;
(b) Escrever a integral coordenadas cilíndricas;
(c) Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado dá as superfícies que limitam um sólido e pede o volume desse sólido, dividido em três tarefas:
  • Superfícies dadas: z = x^{2}+y^{2} (paraboloide) e z=4 (plano).
  • Perguntas:
    (a) Escrever a integral do volume em coordenadas cartesianas;
    (b) Escrever a integral do volume em coordenadas cilíndricas;
    (c) Calcular a integral e obter o volume numérico.
  • Informação útil que já aparece no enunciado (e que vamos usar): a região do espaço entre essas duas superfícies é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que x^{2}+y^{2}\le 4 e x^{2}+y^{2}\le z\le 4. A projeção no plano xy é o disco centrado na origem de raio 2 (porque eu peguei x^{2}+y^{2}=4 a partir da interseção das superfícies).

Passo 2

Ideia geral — como calcular volume por integral tripla. O volume de um sólido E pode ser escrito como
V = \iiint_{E} dV.
Isso significa: somar pequenos elementos de volume dV sobre toda a região E. Em coordenadas cartesianas dV = dx\,dy\,dz. Em coordenadas cilíndricas, que são naturais para problemas com simetria circular, usamos a transformação
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
e o elemento de volume passa a ser dV = r\,dr\,d\theta\,dz. O fator extra r é o jacobiano da transformação (explico melhor no próximo passo).

Passo 3

Explicando o jacobiano e por que usar coordenadas cilíndricas. A transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) “espalha” áreas: um pequeno retângulo dr\times d\theta em coordenadas polares corresponde a uma pequena área aproximadamente igual a r\,dr\,d\theta no plano xy. Por isso, quando mudamos de (x,y) para (r,\theta) devemos multiplicar por r no integrando. Em muitos problemas onde a projeção no plano xy é um disco (círculo), coordenadas cilíndricas tornam as integrais muito mais simples.

Passo 4

Construindo a integral em coordenadas cartesianas (resposta da parte (a)). Primeiro identificamos a projeção no plano xy: é o disco x^{2}+y^{2}\le 4. Em cartesianas podemos descrever esse disco com x variando de -2 a 2 e, para cada x, y variando entre -\sqrt{4-x^{2}} e \sqrt{4-x^{2}}. Para cada ponto (x,y) da projeção, z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=4. Assim a integral tripla em cartesianas é
V=\int_{x=-2}^{2}\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{4} dz\,dy\,dx.
Aqui dz\,dy\,dx representa o elemento de volume em cartesianas. Esta é a escrita pedida em (a).

Passo 5

Construindo a integral em coordenadas cilíndricas (resposta da parte (b)). Em cilíndricas a projeção do sólido no plano xy vira 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi. Para um dado r e \theta, a coordenada z varia de z=r^{2} (porque x^{2}+y^{2}=r^{2}) até z=4. E lembrando do jacobiano, dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Uma ordem conveniente é primeiro integrar em z, depois em r e por fim em \theta. Assim a integral é
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.
Essa é a resposta pedida em (b). Note que a simetria circular torna os limites simples: r e \theta têm limites constantes.

Passo 6

Agora calculamos a integral (parte (c)). Começamos pela integral em z na expressão em cilíndricas porque é direta:
\int_{z=r^{2}}^{4} r\,dz = r\bigl[ z\bigr]_{z=r^{2}}^{z=4} = r(4 - r^{2}).
Portanto
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calculando a integral em r. Desenvolvemos o integrando:
r(4-r^{2}) = 4r - r^{3}.
Agora integramos de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr = \left[2r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2}.
Avaliaremos a expressão em r=2:
2\cdot 2^{2} - \tfrac{1}{4}\cdot 2^{4} = 2\cdot 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 8 - 4 = 4.
Assim a integral em r deu 4.

Passo 8

Agora falta integrar em \theta. Temos
V = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 4\cdot 2\pi = 8\pi.
Portanto o volume do sólido é 8\pi.

Resposta

(a) V=\displaystyle \int_{x=-2}^{2}\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{4} dz\,dy\,dx\n
(b) V=\displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta\n
(c) V=8\pi

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