Questão.(2,5 pts) Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, utilizando:
(a) Escrever a integral cm coordenadas cartesianas;
(b) Escrever a integral coordenadas cilíndricas;
(c) Calcule a integral.
(a) Escrever a integral cm coordenadas cartesianas;
(b) Escrever a integral coordenadas cilíndricas;
(c) Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá as superfícies que limitam um sólido e pede o volume desse sólido, dividido em três tarefas:
- Superfícies dadas:
(paraboloide) e (plano). - Perguntas:
(a) Escrever a integral do volume em coordenadas cartesianas;
(b) Escrever a integral do volume em coordenadas cilíndricas;
(c) Calcular a integral e obter o volume numérico. - Informação útil que já aparece no enunciado (e que vamos usar): a região do espaço entre essas duas superfícies é o conjunto de pontos
tais que e . A projeção no plano é o disco centrado na origem de raio (porque eu peguei a partir da interseção das superfícies).
Passo 2
Ideia geral — como calcular volume por integral tripla. O volume de um sólido
pode ser escrito como
Isso significa: somar pequenos elementos de volume
sobre toda a região
. Em coordenadas cartesianas
. Em coordenadas cilíndricas, que são naturais para problemas com simetria circular, usamos a transformação
e o elemento de volume passa a ser
. O fator extra
é o jacobiano da transformação (explico melhor no próximo passo).
Passo 3
Explicando o jacobiano e por que usar coordenadas cilíndricas. A transformação
“espalha” áreas: um pequeno retângulo
em coordenadas polares corresponde a uma pequena área aproximadamente igual a
no plano
. Por isso, quando mudamos de
para
devemos multiplicar por
no integrando. Em muitos problemas onde a projeção no plano
é um disco (círculo), coordenadas cilíndricas tornam as integrais muito mais simples.
Passo 4
Construindo a integral em coordenadas cartesianas (resposta da parte (a)). Primeiro identificamos a projeção no plano
: é o disco
. Em cartesianas podemos descrever esse disco com
variando de
a
e, para cada
,
variando entre
e
. Para cada ponto
da projeção,
varia de
até
. Assim a integral tripla em cartesianas é
Aqui
representa o elemento de volume em cartesianas. Esta é a escrita pedida em (a).
Passo 5
Construindo a integral em coordenadas cilíndricas (resposta da parte (b)). Em cilíndricas a projeção do sólido no plano
vira
e
. Para um dado
e
, a coordenada
varia de
(porque
) até
. E lembrando do jacobiano,
. Uma ordem conveniente é primeiro integrar em
, depois em
e por fim em
. Assim a integral é
Essa é a resposta pedida em (b). Note que a simetria circular torna os limites simples:
e
têm limites constantes.
Passo 6
Agora calculamos a integral (parte (c)). Começamos pela integral em
na expressão em cilíndricas porque é direta:
Portanto
Passo 7
Calculando a integral em
. Desenvolvemos o integrando:
Agora integramos de
a
:
Avaliaremos a expressão em
:
Assim a integral em
deu
.
Passo 8
Agora falta integrar em
. Temos
Portanto o volume do sólido é
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)