3a Questăo: Em uma rede trifásica equilibrada em que \mathrm{V}_{\mathrm{AB}}=380<-130^{\circ} \mathrm{V}, sequência ACB, 60 Hz , está instalada uma carga equilibrada em delta ( \Delta ) em paralelo com um banco de capacitores trifásico equilibrado ligado em " Y ".
A corrente de linha da fase A é 7,73<-155,3^{\circ} A e a potência na carga em delta é 6.494,40+j 5.808,52 VA.
Determine:
  1. A impedância, em módulo e fase, por fase da carga ligada em delta ( \Delta );
  2. A corrente, em módulo e fase, na fase A do banco de capacitores em " Y ";
  3. A capacitância por fase do banco de capacitores ligado em " Y ".

Passo 1

O enunciado trata de uma rede trifásica equilibrada, sequência ACB, com tensão de linha para linha em A\!B igual a
\mathrm V_{AB}=380\angle -130^\circ\\ \mathrm V,
onde temos duas cargas em paralelo:
1. Uma carga equilibrada em \Delta, cuja corrente de linha em A é
I_{A,\text{total}}=7,73\angle -155{,}3^\circ\\ \mathrm A
e cuja potência total é
S_\Delta =6\,494{,}40 + j\,5\,808{,}52\\ \mathrm{VA}.
2. Um banco trifásico equilibrado de capacitores em Y.
Precisamos achar:
  • a impedância por fase da carga \Delta;
  • a corrente na fase A do banco de capacitores em Y;
  • a capacitância por fase desse banco.
Para isso vamos:
1. Determinar a potência por fase da carga \Delta e dela extrair a impedância por fase.
2. Calcular a corrente de linha que alimenta só a \Delta e subtrair da corrente total para obter a corrente do banco de capacitores.
3. Usar I_C=\omega C V_{\text{fase}} para achar C.

Passo 2

A carga \Delta é equilibrada, logo a potência por fase é
S_{\varphi}=\frac{S_\Delta}{3} =\frac{6\,494{,}40 + j\,5\,808{,}52}{3} =2\,164{,}80 + j\,1\,936{,}17\\ \mathrm{VA}.
Em conexão \Delta a tensão de fase é a tensão de linha, V_\varphi=380\angle -130^\circ\\ \mathrm V.
Pela definição de potência complexa por fase,
S_{\varphi}=V_\varphi\,I_\varphi^*,
temos
I_\varphi^*=\frac{S_{\varphi}}{V_\varphi} \quad\Longrightarrow\quad I_\varphi=\frac{S_{\varphi}^*}{V_\varphi^*}.
Calculando
S_{\varphi}^*=2\,164{,}80 - j\,1\,936{,}17 =\;2\,905{,}27\angle -41{,}98^\circ, \quad V_\varphi^*=380\angle +130^\circ,
resulta
I_\varphi =\frac{2\,905{,}27\angle -41{,}98^\circ} {380\angle +130^\circ} =7{,}64\angle -171{,}98^\circ\\ \mathrm A.
A impedância por fase da carga \Delta é
Z_\varphi =\frac{V_\varphi}{I_\varphi} =\frac{380\angle -130^\circ}{7{,}64\angle -171{,}98^\circ} =49{,}74\angle +41{,}98^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Em carga \Delta equilibrada a corrente de linha que alimenta só a \Delta vale
|I_{A,\Delta}|=\sqrt{3}\,|I_\varphi| =\sqrt{3}\cdot7{,}64=13{,}24\\ \mathrm A
e apresenta ângulo
\arg I_{A,\Delta} =\arg I_\varphi + 180^\circ -120^\circ =\,-171{,}98^\circ +60^\circ =\,-111{,}98^\circ \quad\text{ou}\quad+248{,}02^\circ,
o que, na forma principal, usamos
I_{A,\Delta}=13{,}24\angle+157{,}96^\circ\\ \mathrm A.

Passo 4

A corrente total de linha em A é soma vetorial da corrente para \Delta com a corrente do banco de capacitores em Y:
I_{A,\text{total}} =I_{A,\Delta} + I_{A,C}.
Isolando a corrente do capacitor,
I_{A,C} =I_{A,\text{total}}-I_{A,\Delta} =7{,}73\angle -155{,}3^\circ \;-\; 13{,}24\angle +157{,}96^\circ.
Em forma retangular:
7{,}73\angle -155{,}3^\circ \approx -7{,}034 \;-\;j\,3{,}20, \quad 13{,}24\angle +157{,}96^\circ \approx -12{,}23 \;+\;j\,5{,}08.
Logo
I_{A,C} =(-7{,}034 -j\,3{,}20) -(-12{,}23 +j\,5{,}08) =5{,}196 - j\,8{,}28
\bigl|I_{A,C}\bigr| =\sqrt{5{,}196^2 +(-8{,}28)^2} =9{,}78\\ \mathrm A, \quad \arg I_{A,C} =\arctan\frac{-8{,}28}{5{,}196} =-57{,}5^\circ.

Passo 5

Em banco Y cada capacitor vê a tensão de fase (neutro–fase) com módulo
|V_{\varphi}|=\frac{380}{\sqrt{3}}=219{,}39\\ \mathrm V.
A admitância por fase é
B=\frac{|I_{A,C}|}{|V_\varphi|} =\frac{9{,}78}{219{,}39} =0{,}04457\\ \mathrm S,
e como B=\omega C com \omega=2\pi\cdot60,
C=\frac{B}{\omega} =\frac{0{,}04457}{2\pi\cdot60} =1{,}182\times10^{-4}\\ \mathrm F =118{,}2\\ \mu\mathrm F.

Resposta

1) Z_\varphi^{\Delta}=49{,}74\angle41{,}98^\circ\\ \Omega 2) I_{A,C}=9{,}78\angle -57{,}5^\circ\\ \mathrm A 3) C_{\text{fase}}=118{,}2\\ \mu\mathrm F

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