1. Um condutor coaxial tem raios a=0.8 \mathrm{~mm} e b=3 \mathrm{~mm} e é preenchido por um polímero dielétrico (poliestireno) com constante dielétrica \varepsilon_{r}=2.56. O vetor polarização do dielétrico é
\vec{P}=\frac{2}{\rho} \overrightarrow{a_{\rho}} n C / m^{2}
Determine:
a) \mathbf{D} e E em função de \rho.
b) V_{a b}
c) Se existem 4 \times 10^{19} moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule o dipolo elétrico da molécula (p(\rho)).

Passo 1

O enunciado trata de um sistema coaxial, com condutor interno de raio a=0{,}8\,\mathrm{mm} e externo de raio b=3\,\mathrm{mm}, preenchido por dielétrico (poliestireno) de constante dielétrica \varepsilon_{r}=2{,}56. Estamos dados o vetor polarização
\vec P(\rho)=\frac{2}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{nC/m^2}\bigr)
e precisamos encontrar:
a) o vetor deslocamento \vec D(\rho) e o vetor campo elétrico \vec E(\rho),
b) a diferença de potencial V_{ab} entre os condutores,
c) o momento de dipolo por molécula \vec p(\rho), sabendo que há 4\times10^{19} moléculas por metro cúbico.
Para resolver, usaremos que em um dielétrico linear
\vec P=\varepsilon_{0}\,\chi_{e}\,\vec E,\quad \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1,
e
\vec D=\varepsilon_{0}\,\vec E+\vec P.
Em seguida integramos \vec E para achar V_{ab} e usamos \vec P=N\,\vec p para obter \vec p.

Passo 2

Relação entre \vec P e \vec E. Como \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1=2{,}56-1=1{,}56, de
\vec P=\varepsilon_{0}\,\chi_{e}\,\vec E
vem
\vec E(\rho) =\frac{\vec P(\rho)}{\varepsilon_{0}\,(\varepsilon_{r}-1)} =\frac{\displaystyle\frac{2}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\times10^{-9}}{8{,}85\times10^{-12}\times1{,}56} =\frac{2\times10^{-9}}{1{,}56\cdot8{,}85\times10^{-12}}\;\frac{1}{\rho}\,\mathbf a_{\rho} \approx\frac{144{,}8}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{V/m}\bigr),
onde \rho está em metros.

Passo 3

Cálculo de \vec D. Usando
\vec D=\varepsilon_{0}\,\vec E+\vec P
e escrevendo \vec P em coulomb por metro quadrado,
\vec P(\rho)=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho},
temos
\vec D(\rho) =\varepsilon_{0}\,\vec E(\rho)+\vec P(\rho) =\varepsilon_{0}\,\frac{\vec P}{\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)}+\vec P =\frac{\vec P}{\varepsilon_{r}-1}+\vec P =\frac{\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{r}-1}\,\vec P =\frac{2{,}56}{1{,}56}\,\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho} \approx\frac{3{,}282\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{C/m^2}\bigr).

Passo 4

Diferença de potencial V_{ab}=V(a)-V(b). Como
V(a)-V(b) =-\int_{a}^{b}\vec E\cdot d\vec \ell =-\int_{a}^{b}\frac{144{,}8}{\rho}\,d\rho =-144{,}8\;\ln\!\frac{b}{a} =144{,}8\;\ln\!\frac{a}{b}.
Substituindo a=0{,}8\times10^{-3}\,\mathrm m e b=3\times10^{-3}\,\mathrm m:
\ln\frac{a}{b}=\ln\frac{0{,}8}{3}\approx-1{,}322 \quad\Longrightarrow\quad V_{ab}\approx144{,}8\times(-1{,}322)\approx-191{,}5\;\mathrm V.
(O sinal indica que o potencial do condutor interno é menor que o do externo, conforme o sentido de \vec E.)

Passo 5

Momento de dipolo por molécula. Sabe-se que
\vec P=N\,\vec p,
onde N=4\times10^{19}\,\mathrm m^{-3}. Logo
\vec p(\rho) =\frac{\vec P(\rho)}{N} =\frac{2\times10^{-9}}{4\times10^{19}}\;\frac{1}{\rho}\,\mathbf a_{\rho} =\frac{5\times10^{-29}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{C\cdot m}\bigr).

Resposta

a)
\vec E(\rho)=\frac{144{,}8}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{V/m}\bigr), \qquad \vec D(\rho)=\frac{3{,}282\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{C/m^2}\bigr).
b)
V_{ab}=144{,}8\;\ln\frac{a}{b}\approx-191{,}5\;\mathrm V.
c)
\vec p(\rho)=\frac{5\times10^{-29}}{\rho}\,\mathbf a_{\rho}\quad\bigl(\mathrm{C\cdot m}\bigr).

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