5 Resolva os PVIs
(2 x+y) d x+(x+y+3) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI (2x+y),dx + (x+y+3),dy = 0, com condição inicial y(0)=2. Trata-se de uma equação diferencial de duas variáveis, que vamos verificar se é exata para usar o método de funções potenciais.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2x + y, N(x,y) = x + y + 3
Calculamos as derivadas cruzadas:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M = 2x+y
Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral (2x+y),dx = x^2 + x,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Usamos agora
partial phipartial y = x + h'(y) ;stackrel!=; N = x + y + 3
Daí
h'(y) = y + 3 Longrightarrow h(y) = integral (y+3),dy = tfracy^22 + 3y
Logo
phi(x,y) = x^2 + x,y + tfracy^22 + 3y

Passo 5

A solução geral implícita é
phi(x,y) = C Longrightarrow x^2 + x,y + tfracy^22 + 3y = C
Para determinar C use y(0)=2:
0^2 + 0cdot2 + tfrac2^22 + 3cdot2 = 2 + 6 = 8,
logo C=8.

Resposta

x^2 + x,y + tfracy^22 + 3y = 8

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