Determine a solução geral de:
(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 3y = 0
O método que vamos usar consiste em assumir uma solução do tipo exponencial e montar a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(x) = e^r x
Derivando, temos
y'(x) = r e^r x, y''(x) = r^2 e^r x
Substituindo na equação diferencial resulta
r^2 e^r x + 2r e^r x + 3 e^r x = 0
e como e^r xneq0 podemos dividir por esse fator.

Passo 3

A equação característica fica
r^2 + 2r + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot32cdot1 = -2 pm raiz4 - 122 = -2 pm raiz-82 = -1 pm iraiz2

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = -1 pm iraiz2, a solução geral é
y(x) = e^-x(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = e^-x(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x))

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