3a Questão: Seja a função
f(x)=x^2-x-2(x-1)^2, x neq 1
Verifique se f é contínua em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-x-2(x-1)^2para xneq1
e pede para verificar se f é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo aqui é continuidade de funções racionais, sabendo que polinômios são contínuos em R e que o quociente de funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não se anula.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como o denominador (x-1)^2 não pode ser zero, exigimos
(x-1)^2neq0;Longrightarrow;xneq1
Logo o domínio é
D=Rsetminus1

Passo 3

Para qualquer ponto x0inD, temos x0neq1, de modo que num vizinho-lhão de x0 o denominador (x-1)^2 permanece não-nulo. Assim xmapsto x^2-x-2 e xmapsto(x-1)^2 são polinômios (continuidade em R) e, por consequência,
f(x)=x^2-x-2(x-1)^2
é quociente de funções contínuas com denominador não-zero. Portanto f é contínua em todo ponto de D.

Resposta

A função f é contínua para todo xneq1, ou seja, em todo o seu domínio Rsetminus1.

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