Calcule os limites a seguir
lim x +infty 3 x^3+x cos raizxx^4 sen(1x)+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+infty3x^3+xcosraizxx^4sinl(tfrac1xr)+1
O conteúdo envolve limites no infinito, fatoração do maior termo e expansão de funções trigonométricas para argumentos pequenos.

Passo 2

Observamos que cosraizx é limitada em [-1,1], logo
xcosraizx=O(x),
que cresce muito menos que x^3. Assim a parte dominante do numerador é 3x^3.

Passo 3

Para o denominador, quando tto0 vale sin tsim t. Como 1/xto0 em xto+infty, temos
sinl(tfrac1xr)=1x+ol(1xr),
logo
x^4sinl(tfrac1xr) = x^4l(1x+o(tfrac1x)r) = x^3 + o(x^3)

Passo 4

Substituindo no quociente,
3x^3 + xcosraizxx^4sin(1/x)+1 = 3x^3 + o(x^3)x^3 + o(x^3) ;longrightarrow; 31=3

Resposta

O limite é 3.

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