Questão: Calcule, sem usar derivadas:

Passo 1

O enunciado pede para calcular sem usar derivadas o limite
limxto0sin(4x)1-cos(2x).
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e equivalências para tratar limites quando xto0, em particular
sin(4x) em termos de sin e cos e a identidade
1-costheta = 2sin^2!l(tfractheta2r)

Passo 2

Aplicamos a identidade no denominador com theta=2x:
1-cos(2x) = 2sin^2(x)

Passo 3

Reescrevemos o numerador usando
sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x),
então
sin(4x)1-cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x)2sin^2(x) = sin(2x)cos(2x)sin^2(x)

Passo 4

Agora usamos sin(2x) = 2sin(x)cos(x), obtendo
sin(2x)cos(2x)sin^2(x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x)sin^2(x) = 2,cos(x),cos(2x)sin(x)

Passo 5

Quando xto0 vale cos(x)to1, cos(2x)to1 e sin(x)sim x. Portanto
2,cos(x)cos(2x)sin(x) sim 2,1cdot1x = 2x,
que diverge em módulo quando xto0.

Passo 6

Concluímos que o limite não existe como número real finito. Em termos de limite infinito:
limxto0^+sin(4x)1-cos(2x) = +infty, limxto0^-sin(4x)1-cos(2x) = -infty

Resposta

O limite diverge; tendingo a +infty pela direita e a -infty pela esquerda.

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