4.3D Seja
o anel descrito por
e sejam
e
funções de classe
, isto é, com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, tais que
na região
. Quantos valores são possíveis para a integral de linha
, sendo
uma curva simples fechada regular por partes contida em
? [resp. 3]
Passo 1
O enunciado define o domínio
que é um anel (não simplesmente conexo), e dá um campo
de classe
em
tal que
ou seja, o campo é fechado. Queremos saber quantos valores distintos a integral de linha
pode assumir quando
percorre uma curva simples fechada, regular por partes, contida em
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green e conceitos de formas diferenciais em domínios não simplesmente conexos.
Passo 2
Como
, o rotacional do campo
é zero. Se
for uma curva fechada cuja região interior
for simplesmente conectada e estiver contida em
, então o Teorema de Green dá
Logo, toda curva que não “encerra” o buraco do anel tem integral nula.
Passo 3
Se
contorna o buraco (isto é, não é homotópica ao ponto em
), então a região interior de
não é simplesmente conectada em
e não podemos aplicar Green diretamente. No entanto, qualquer curva simples fechada que circunde o buraco é homotópica à circunferência
Passo 4
Defina
que independe de
por homotopia em
. Então, para uma curva genérica
, a integral depende apenas do índice de
em relação ao buraco, chamado
, e vale
Passo 5
Como
é simples e não se auto-intersecta, seu índice em relação ao buraco só pode ser
isto é, ou não circunda o buraco (
), ou circunda uma vez positivamente (
), ou uma vez negativamente (
). Assim a integral pode assumir exatamente três valores distintos: