4.3D Seja D o anel descrito por 1 <= x^2+y^2 <= 2 e sejam P(x, y) e Q(x, y) funções de classe C^1, isto é, com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, tais que Py=Qx na região D. Quantos valores são possíveis para a integral de linha ointgamma P d x+Q d y, sendo gamma uma curva simples fechada regular por partes contida em D ? [resp. 3]

Passo 1

O enunciado define o domínio
D = (x,y)mid 1 <= x^2+y^2 <= 2,
que é um anel (não simplesmente conexo), e dá um campo (P,Q) de classe C^1 em D tal que
Py = Qx
ou seja, o campo é fechado. Queremos saber quantos valores distintos a integral de linha
ointgammaP,dx + Q,dy
pode assumir quando gamma percorre uma curva simples fechada, regular por partes, contida em D. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green e conceitos de formas diferenciais em domínios não simplesmente conexos.

Passo 2

Como Py=Qx, o rotacional do campo (P,Q) é zero. Se gamma for uma curva fechada cuja região interior R for simplesmente conectada e estiver contida em D, então o Teorema de Green dá
ointgammaP,dx + Q,dy =integral duplaR(Qx - Py),dA =0
Logo, toda curva que não “encerra” o buraco do anel tem integral nula.

Passo 3

Se gamma contorna o buraco (isto é, não é homotópica ao ponto em D), então a região interior de gamma não é simplesmente conectada em D e não podemos aplicar Green diretamente. No entanto, qualquer curva simples fechada que circunde o buraco é homotópica à circunferência
Cr:;x^2+y^2=r^2,1<r<raiz2

Passo 4

Defina
C = ointCrP,dx + Q,dy,
que independe de r por homotopia em D. Então, para uma curva genérica gamma, a integral depende apenas do índice de gamma em relação ao buraco, chamado n(gamma), e vale
ointgammaP,dx + Q,dy = n(gamma),C

Passo 5

Como gamma é simples e não se auto-intersecta, seu índice em relação ao buraco só pode ser
n(gamma) in 0,1,-1,
isto é, ou não circunda o buraco ( n=0), ou circunda uma vez positivamente ( n=1), ou uma vez negativamente ( n=-1). Assim a integral pode assumir exatamente três valores distintos:
0, C, -C

Resposta

3

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