3.3D Uma lâmina tem a forma da região D do plano x y delimitada pela parábola x=y^2 e pela reta x=4. Determine o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por área em cada ponto da lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa (bar x,bar y) de uma lâmina que ocupa a região D do plano xy limitada por x=y^2 e x=4. A densidade superficial é rho(x,y)=k,distl((x,y),y-eixor)=k,x. Para encontrar (bar x,bar y) vamos usar integrais duplas para o cálculo da massa e dos momentos.

Passo 2

Descri-mos a região D com
-2 <= y <= 2, y^2 <= x <= 4
e a densidade
rho(x,y) = k cdot x

Passo 3

O total da massa é
M=integral duplaDrho(x,y),dA =kintegral duplaDx,dA
Calculamos primeiro
I1=integral duplaDx,dA =integraly=-2^2!integralx=y^2^4x,dx,dy =integral-2^212l(4^2-(y^2)^2r)dy =12l(64-645r) =1285
Logo
M=k,I1=k1285

Passo 4

O momento em relação ao eixo y é
My=integral duplaDx,rho(x,y),dA =kintegral duplaDx^2,dA
Calculamos
I2=integral duplaDx^2,dA =integral-2^2!integraly^2^4x^2,dx,dy =integral-2^213l(4^3-(y^2)^3r)dy =13l(256-2567r) =5127
Logo
My=k,I2=k5127

Passo 5

A coordenada x-do-centro-de-massa é
bar x=MyM =k5127k1285 =5127cdot5128 =207
Por simetria em y a lâmina tem bar y=0.

Resposta

l(bar x,bar yr) =l(tfrac207,,0r)

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