Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia Ix, Iy da lâmina de densidade sigma(x, y) e formato D :
D: y=x^2, y=4 ; sigma=k y

Passo 1

O enunciado pede a massa m, o centro de massa (bar x,bar y) e os momentos de inércia Ix, Iy de uma lâmina de densidade sigma(x,y)=k,y sobre a região
D=l(x,y)mid x^2<= y<= 4r
Para isso vamos montar integrais duplas em coordenadas cartesianas: x varia de -2 a 2 e, para cada x, y varia de x^2 até 4.

Passo 2

Calcular a massa
m=integral duplaDsigma,dA =integral duplaDk,y,dA =kintegralx=-2^2!integraly=x^2^4y,dy,dx
A integral interna é
integralx^2^4y,dy =l[tfracy^22r]y=x^2^y=4 =tfrac162-tfracx^42 =8-tfracx^42
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m =kintegral-2^2l(8-tfracx^42r)dx =kl[8cdot 4-tfrac12integral-2^2x^4dxr] =kl(32-tfrac12cdottfrac645r) =tfrac128,k5

Passo 3

Calcular bar x
bar x =1mintegral duplaDx,sigma,dA =kmintegral-2^2!integralx^2^4x,y,dy,dx
Como o integrando x,y é função ímpar em x e o domínio é simétrico [-2,2], conclui-se
bar x=0

Passo 4

Calcular bar y
bar y =1mintegral duplaDy,sigma,dA =kmintegral-2^2!integralx^2^4y^2,dy,dx
A integral interna dá
integralx^2^4y^2,dy =l[tfracy^33r]x^2^4 =tfrac643-tfracx^63,
portanto
bar y =kmintegral-2^2l(tfrac643-tfracx^63r)dx =k3ml[64cdot 4-2cdottfrac2^77r] =k3mcdottfrac15367
e, como m=128k/5,
bar y =1536/73cdot(128/5) =1536cdot 57cdot384 =207

Passo 5

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo x:
Ix =integral duplaDy^2,sigma,dA =kintegral-2^2!integralx^2^4y^3,dy,dx =kintegral-2^2l[tfracy^44r]x^2^4dx =k4integral-2^2l(256 - x^8r)dx
Como integral-2^2x^8dx=2cdot2^9/9=512/9,
Ix =k4l[256cdot 4-tfrac5129r] =k4cdottfrac81929 =2048,k9

Passo 6

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo y:
Iy =integral duplaDx^2,sigma,dA =kintegral-2^2x^2!integralx^2^4y,dy,dx =k2integral-2^2x^2l(16 - x^4r)dx
Usando integral-2^2x^2dx=16/3 e integral-2^2x^6dx=256/7,
Iy =k2l[16cdottfrac163-tfrac2567r] =k2cdottfrac102421 =512,k21

Resposta

m=128,k5
bar x=0, bar y=207
Ix=2048,k9
Iy=512,k21

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