3.3E Uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, tem a forma de um quadrado de lado . Determine o momento de inércia com relação a um lado, a uma diagonal e ao centro de massa.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina homogênea em forma de quadrado de lado em três eixos distintos, todos perpendiculares ao plano da lâmina:
– eixo passando por um lado do quadrado;
– eixo passando pela diagonal do quadrado;
– eixo passando pelo centro de massa (centro do quadrado).
O conteúdo que vamos usar inclui a definição
o teorema dos eixos paralelos
e integrais duplas para calcular distância de cada ponto ao eixo.
Passo 2
Primeiro chamamos de a massa total da lâmina e definimos a densidade de área
Para o eixo pelo centro de massa, a distância de cada ponto ao eixo é . Assim
Calculando separadamente
o mesmo vale para , e o termo cruzado é zero por simetria. Logo
Passo 3
Para o eixo que passa por um lado do quadrado usamos o teorema dos eixos paralelos. A distância do centro de massa ao lado é . Logo
Passo 4
Para o eixo perpendicular ao plano que contém a diagonal do quadrado, posicionamos o quadrado de modo que seu centro seja a origem e a diagonal seja a reta . A distância de à reta vale . Então