3.3E Uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, tem a forma de um quadrado de lado a. Determine o momento de inércia com relação a um lado, a uma diagonal e ao centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina homogênea em forma de quadrado de lado a em três eixos distintos, todos perpendiculares ao plano da lâmina:
– eixo passando por um lado do quadrado;
– eixo passando pela diagonal do quadrado;
– eixo passando pelo centro de massa (centro do quadrado).
O conteúdo que vamos usar inclui a definição
I = integral duplalâmina r^2,dm, â
o teorema dos eixos paralelos
Ieixo deslocado = ICM + M d^2,
e integrais duplas para calcular distância de cada ponto ao eixo.

Passo 2

Primeiro chamamos de M a massa total da lâmina e definimos a densidade de área
sigma = Ma^2
Para o eixo pelo centro de massa, a distância de cada ponto ao eixo é raizx^2+y^2. Assim
ICM = integral dupla (x^2+y^2),dm = sigma integral dupla-a/2^a/2(x^2+y^2),dx,dy
Calculando separadamente
integral dupla x^2,dx,dy =l(integral-a/2^a/2x^2,dxr)l(integral-a/2^a/2dyr) =a^312cdot a =a^412,
o mesmo vale para integral dupla y^2,dx,dy, e o termo cruzado integral dupla xy,dx,dy é zero por simetria. Logo
ICM =sigmal(a^412+a^412r) =sigmaa^46 =Ma^2,a^46 =16Ma^2

Passo 3

Para o eixo que passa por um lado do quadrado usamos o teorema dos eixos paralelos. A distância do centro de massa ao lado é d=a/2. Logo
Ilado =ICM+Ml(a2r)^2 =16Ma^2 + Ma^24 =16Ma^2+14Ma^2 =512Ma^2

Passo 4

Para o eixo perpendicular ao plano que contém a diagonal do quadrado, posicionamos o quadrado de modo que seu centro seja a origem e a diagonal seja a reta y=x. A distância de (x,y) à reta y=x vale l|x-yr|/raiz2. Então
Idiag =integral dupla gl(x-yraiz2gr)^2dm =sigma2integral dupla (x-y)^2,dx,dy
Expandindo e integrando como no passo 2, achamos
integral dupla(x-y)^2,dx,dy =integral dupla(x^2+y^2-2xy),dx,dy =a^46,
pois integral dupla xy=0. Logo
Idiag =sigma2,a^46 =Ma^2,a^412 =112Ma^2

Resposta

Isto é, em termos de M e a:
Ilado=dfrac512Ma^2,
Idiag=dfrac112Ma^2,
ICM=dfrac16Ma^2.

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