Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia
,
da lâmina de densidade
e formato
:
Passo 1
O enunciado pede a massa
, o centro de massa
e os momentos de inércia
(em torno do eixo
) e
(em torno do eixo
) de uma lâmina ocupando o disco unitário
com densidade superficial
.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas polares, uso de simetria, cálculo de momentos de inércia.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas polares, uso de simetria, cálculo de momentos de inércia.
Passo 2
Para achar a massa
passamos a coordenadas polares
,
,
. Então
Como
e
, obtemos
Passo 3
Pela simetria do domínio e por
ser par em
e em
, temos
Logo o centro de massa é
.
Passo 4
O momento de inércia em torno do eixo
é
Calculamos
e
Portanto
Passo 5
Analogamente
Temos
e
Logo
Resposta
m