Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia Ix, Iy da lâmina de densidade sigma(x, y) e formato D :
D: x^2+y^2=1 ; sigma=|x|

Passo 1

O enunciado pede a massa m, o centro de massa (bar x,bar y) e os momentos de inércia Ix (em torno do eixo x) e Iy (em torno do eixo y) de uma lâmina ocupando o disco unitário
D=(x,y)mid x^2+y^2<=1
com densidade superficial sigma(x,y)=|x|.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas polares, uso de simetria, cálculo de momentos de inércia.

Passo 2

Para achar a massa
m=integral duplaDsigma,dA=integral duplaD|x|,dA
passamos a coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. Então
m=integral0^2pi!!integral0^1r,|rcostheta|;r,dr,dtheta =integral0^2pi|,costheta|,dtheta;integral0^1r^2dr
Como integral0^1r^2dr=tfrac13 e integral0^2pi|costheta|,dtheta=4, obtemos
m=tfrac13cdot4=tfrac43

Passo 3

Pela simetria do domínio e por sigma ser par em y e em xto -x, temos
bar x=1mintegral duplaDx,|x|,dA=0, bar y=1mintegral duplaDy,|x|,dA=0
Logo o centro de massa é (0,0).

Passo 4

O momento de inércia em torno do eixo x é
Ix=integral duplaDy^2,sigma,dA =integral0^2pi!!integral0^1(rsintheta)^2,(r|costheta|),r,dr,dtheta =l(integral0^2pisin^2theta,|costheta|,dthetar)!integral0^1r^4dr
Calculamos integral0^1r^4dr=tfrac15 e
integral0^2pisin^2theta,|costheta|,dtheta =4integral0^pi/2sin^2thetacostheta,dtheta =4cdot13=43
Portanto
Ix=15cdot43=415

Passo 5

Analogamente
Iy=integral duplaDx^2,sigma,dA =integral0^2pi!!integral0^1(rcostheta)^2,(r|costheta|),r,dr,dtheta =l(integral0^2pi|costheta|^3dthetar)!integral0^1r^4dr
Temos integral0^1r^4dr=tfrac15 e
integral0^2pi|costheta|^3dtheta =4integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =4cdot23=83
Logo
Iy=15cdot83=815

Resposta

m = tfrac43 (bar x,bar y)=(0,0) Ix=tfrac415 Iy=tfrac815

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