1. Determinar a derivada da função f: R R definida por f(x)=x^x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^x
para xinR. Na prática, estamos considerando x>0 para que x^x faça sentido no mundo dos reais. O conteúdo usado será a diferenciação logarítmica, que é ideal quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Seja
y = f(x) = x^x
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln y = lnl(x^xr) = x,ln x

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo, usando ddx(ln y)=y'y; do lado direito, produto de x por ln x:
y'y = ddx(x,ln x) = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1

Passo 4

Isolando y', temos
y' = y,(ln x + 1)
Como y = x^x, concluímos
y' = x^x,(ln x + 1)

Resposta

f'(x) = x^x,(ln x + 1)

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