8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(a) r=2+sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva polar
r = 2 + sin(2theta)
para a forma cartesiana F(x,y)=0 e depois esboçar seu gráfico. Vamos usar as relações básicas de coordenadas polares:
r = raizx^2 + y^2, sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2,yr,xr = 2xyr^2

Passo 2

Substituímos sin(2theta) em r = 2 + sin(2theta):
r = 2 + 2xyr^2
Multiplicamos ambos os lados por r^2 para livrar-nos do denominador:
r^3 = 2,r^2 + 2,xy

Passo 3

Agora escrevemos r^2 = x^2 + y^2 e r^3 = rcdot r^2 = raizx^2+y^2,(x^2+y^2). Substituindo em
r^3 = 2,r^2 + 2,xy
vem
l(x^2+y^2r)^tfrac32 = 2,(x^2+y^2) + 2,xy

Passo 4

Passamos tudo para um único lado, definindo
F(x,y) = l(x^2+y^2r)^tfrac32 - 2,(x^2+y^2) - 2,xy,
de modo que a forma cartesiana pedida seja
F(x,y) = 0

Passo 5

Para esboçar r = 2 + sin(2theta) note que:
  • Quando theta=0, sin(0)=0, logo r=2.
  • Em theta=tfracpi4, sin(2cdottfracpi4)=1, então r=3. O ponto fica em l(3costfracpi4,,3sintfracpi4r)=(tfrac3raiz2,tfrac3raiz2).
  • Em theta=tfrac3pi4, sin(tfrac3pi2)=-1, logo r=1, ponto em (-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2).
  • A curva é periódica de período pi, não muda de sinal (sempre r>=1), e tem simetria de rotação de 180^circ.
    O esboço é uma “curva quase circular” com duas saliências (quando sin2theta>0) e duas reentrâncias (quando sin2theta<0), reproduzidas a cada pi.

Resposta

F(x,y) = l(x^2+y^2r)^tfrac32 ;-; 2,(x^2+y^2);-;2,xy ;=;0
Gráfico: curva em coordenadas cartesianas descrita acima, com máximo r=3 em theta=tfracpi4 e mínimo r=1 em theta=tfrac3pi4, repetido a cada pi.

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