Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral x+3raiz3+4 x-4 x^2 d x;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
integral x+3raiz3+4x-4x^2,dx
O conteúdo aqui é integral de expressão com raiz de quadrática. Para resolver, vamos completar o quadrado no polinômio do denominador, fazer uma mudança de variável do tipo u=x - x0 e usar as integrais padrões
integral uraiza^2-u^2,du e
integral 1raiza^2-u^2,du.

Passo 2

Complete o quadrado em 3+4x-4x^2. Escrevendo
3+4x-4x^2=-4l(x^2 -xr)+3 =-4l[(x-tfrac12)^2-tfrac14r]+3 =4-4(x-tfrac12)^2 =4l[1-(x-tfrac12)^2r]
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raiz3+4x-4x^2 =2raiz,1-(x-tfrac12)^2,

Passo 3

Faça a substituição
u=x-tfrac12, du=dx, x=u+tfrac12
Então o integrando fica
x+3raiz3+4x-4x^2,dx =u+tfrac12+32raiz1-u^2,du =u+tfrac722raiz1-u^2,du =u2raiz1-u^2,du+74,1raiz1-u^2,du

Passo 4

Separe em duas integrais:
integral u2raiz1-u^2,du e integral 74,1raiz1-u^2,du

Passo 5

Calcule cada uma:
  1. Para integral uraiz1-u^2,du use t=1-u^2, dt=-2u,du, obtendo
integral uraiz1-u^2,du =-raiz1-u^2+C
  1. Para integral 1raiz1-u^2,du sabemos que é
arcsin(u)+C
Recolocando os fatores, temos
integral u2raiz1-u^2,du =-tfrac12raiz1-u^2, integral 74,1raiz1-u^2,du =tfrac74arcsin(u)

Passo 6

Volte a x, lembrando que
raiz1-u^2=tfrac12raiz3+4x-4x^2 e u=x-tfrac12. Então a primitiva geral é
-12raiz1-u^2+74arcsin(u)+C =-14raiz3+4x-4x^2 +74,arcsin!l(x-tfrac12r)+C

Resposta

boxed integral x+3raiz3+4x-4x^2,dx =-14raiz3+4x-4x^2 +74,arcsin!l(x-tfrac12r) +C

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