8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(m) r=41-cos theta

Passo 1

O enunciado pede converter a curva polar
r = 41 - costheta
para a forma cartesiana F(x,y)=0 e esboçá-la. Para isso usaremos as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2, costheta = xr

Passo 2

Substituindo costheta = tfracxr em
r = 41 - costheta
obtemos
r = 41 - tfracxr Longrightarrow rl(1 - xrr) = 4 Longrightarrow r - x = 4
ou seja
raizx^2 + y^2 = x + 4

Passo 3

Elevando ao quadrado a relação raizx^2 + y^2 = x + 4
x^2 + y^2 = (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
e, cancelando x^2,
y^2 = 8x + 16
Reescrevendo em forma implícita,
boxedF(x,y)=y^2 - 8x - 16 = 0

Passo 4

Note que
y^2 = 8(x + 2)
é a equação de uma parábola de vértice em (-2,0), foco em (0,0) e diretriz x=-4. Seu eixo é horizontal e ela se abre para a direita. Intercepta o eixo y em (0,4) e (0,-4).

Passo 5

No esboço devemos marcar:
– vértice em (-2,0),
– foco em (0,0),
– diretriz a reta vertical x=-4,
– pontos (0,4) e (0,-4),
e desenhar a parábola simetricamente em relação ao eixo x, abrindo-se para a direita.

Resposta

F(x,y) = y^2 - 8x - 16 = 0

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