1. Utilizando o teste da primeira derivada, identificar os intervalos de crescimento ou de decrescimento da função f(x)=e^x(x^2-1).

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da primeira derivada na função
f(x)=e^xl(x^2-1r)
para identificar os intervalos em que f cresce ou decresce. Vamos precisar calcular f'(x), achar os pontos críticos (onde f'(x)=0) e estudar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Calculamos aplicando a regra do produto em e :

Passo 3

Os pontos críticos vêm de . Como para todo , basta resolver
que tem raízes
Chamemos e .

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x)=e^x(x^2+2x-1) notamos que e^x>0 sempre, então o sinal de f' coincide com o sinal do polinômio x^2+2x-1. Como é uma parábola voltada para cima, ela é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Logo:
  • Em (-infty,x1), x^2+2x-1>0 Rightarrow f'(x)>0.
  • Em (x1,x2), x^2+2x-1<0 Rightarrow f'(x)<0.
  • Em (x2,+infty), x^2+2x-1>0 Rightarrow f'(x)>0.

Passo 5

Pelo teste da primeira derivada:
  • Onde f'(x)>0, f é crescente.
  • Onde f'(x)<0, f é decrescente.

Resposta

f é crescente em l(-infty,,-1-raiz2r) e em l(-1+raiz2,,+inftyr), e é decrescente em l(-1-raiz2,,-1+raiz2r).

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