e queremos achar sua inversa em cada ramo. Trata-se de inverter equações racionais, isolando x em função de y, lembrando de renomear a variável da imagem como y.]
Passo 2
Invertemos o ramo x>=0. Seja
y=x1 - x, x>=0
Multiplicando pelos dois lados:
y(1 - x)=x Rightarrow y - yx = x Rightarrow y = x + yx Rightarrow y = x(1 + y) Rightarrow x = y1 + y
Portanto, no ramo onde x>=0, a inversa é
f^-1(y)=y1 + y,
com a restrição de que 1+yneq0 (isto é, yneq -1) e y varia no conjunto de valores que esse ramo atinge.
Passo 3
Invertemos o ramo x<=0. Seja
y=x1 + x, x<=0
Multiplicando pelos dois lados:
y(1 + x)=x Rightarrow y + yx = x Rightarrow y = x - yx Rightarrow y = x(1 - y) Rightarrow x = y1 - y
Assim, no ramo onde x<=0, a inversa é
f^-1(y)=y1 - y,
com a restrição de que 1-yneq0 (isto é, yneq1) e y varia nos valores atingidos por esse ramo.
Resposta
f^-1(y)= dfracy1 + y,&quando yneq -1 e corresponde ao ramo original x>=0,[8pt] dfracy1 - y,&quando yneq 1 e corresponde ao ramo original x<=0
Em cada caso, as restrições yneq -1 ou yneq1 vêm de evitar divisão por zero no denominador.]