Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ip=integral0^3 d traiz1+t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ip = integral0^3 dtraiz1+t
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos encontrar uma primitiva de f(t)=(1+t)^-1/2.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 1 + t, temos du = dt. Quando t = 0, u = 1; quando t = 3, u = 4. Assim a integral transforma-se em
integral0^3dtraiz1+t = integral1^4u^-1/2,du

Passo 3

Para u^-1/2, usamos a regra de potências
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C(nneq -1),
com n=-tfrac12. Logo
integral u^-1/2,du = 2,u^1/2 + C

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo sobre [1,4]:
integral1^4u^-1/2,du = l[2,u^1/2r]1^4 = 2raiz4 ;-;2raiz1 = 4 - 2 = 2

Resposta

Ip = 2

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