8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(i) r=2 tan theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva polar r=2tantheta em uma equação cartesiana F(x,y)=0 e esboçar seu gráfico. Para isso vamos usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas: x=rcostheta, y=rsintheta e r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Substituímos tantheta=yx e r=raizx^2+y^2 em r=2tantheta. Assim
r=2,yx Longrightarrow x,r=2y Longrightarrow xraizx^2+y^2=2y

Passo 3

Para eliminar a raiz, elevamos ao quadrado:
l(xraizx^2+y^2r)^2=(2y)^2 Longrightarrow x^2(x^2+y^2)=4y^2 Longrightarrow x^4 + x^2y^2 -4y^2=0,
que podemos rearranjar como
F(x,y)=x^4 + (x^2-4)y^2=0

Passo 4

Para entender o formato do gráfico, isolamos y^2:
(x^2-4)y^2=-x^4 Longrightarrow y^2=x^44-x^2,
o que só faz sentido quando 4-x^2>0, isto é -2<x<2. Além disso, da definição de tantheta temos xneq0.

Passo 5

Analisando a expressão
y^2=x^44-x^2:
1. Há simetria em relação ao eixo x (dois ramos, um com y>0 e outro com y<0).
2. Em x=0 vale y=0, formando um ponto de cúspide na origem.
3. Conforme xtopm2, o denominador tende a zero e lvert yrverttoinfty, indicando assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Resposta

F(x,y)=x^4 + (x^2-4)y^2=0
Gráfico: dois ramos simétricos em relação ao eixo x, encontrando-se em (0,0) e aproximando-se de assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

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