Calcule as seguintes integrais:
p) integral ln (x^3) cdot x^25 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral lnl(x^3r),x^tfrac25,dx
Aqui vamos usar a propriedade de logaritmo para simplificar a integranda e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Usando lnl(x^3r)=3ln(x), a integral vira
integral lnl(x^3r),x^tfrac25,dx =3integral x^tfrac25ln(x),dx

Passo 3

Para integral x^tfrac25ln(x),dx, escolhemos por partes:
u=ln(x), dv=x^tfrac25,dx

Passo 4

Calculamos
du=dxx, v=integral x^tfrac25,dx =x^tfrac75tfrac75 =57,x^tfrac75

Passo 5

Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, temos
integral x^tfrac25ln(x),dx =57,x^tfrac75ln(x) -integral 57,x^tfrac75cdotdxx =57x^tfrac75ln(x) -57integral x^tfrac25,dx

Passo 6

Ainda restou integral x^tfrac25,dx=57x^tfrac75. Logo
integral x^tfrac25ln(x),dx =57x^tfrac75ln(x) -57cdot57x^tfrac75 =57x^tfrac75ln(x) -2549x^tfrac75+C

Passo 7

Voltando ao fator 3:
3integral x^tfrac25ln(x),dx =3l(57x^tfrac75ln(x)-2549x^tfrac75r)+C =157x^tfrac75ln(x)-7549x^tfrac75+C

Resposta

integral lnl(x^3r),x^tfrac25,dx =157x^tfrac75ln(x) -7549x^tfrac75+C

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