Calcule, caso exista
lim x 0^+ ln xcotg x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+ln xcot x
Estamos lidando com limites que apresentam indeterminação do tipo -infty/infty. Para resolver, podemos reescrever a expressão de modo a usar séries ou limites básicos, sem recorrer diretamente a L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que
ln xcot x =ln x;tan x
Essa reescrita elimina a divisão e nos deixa com um produto mais fácil de analisar.

Passo 3

Escrevendo tan x em termos de sin x e cos x, temos
ln x;tan x =ln x;sin xcos x

Passo 4

Quando xto0^+, sabemos que cos xto1 e sin xsim x. Logo
sin xcos xsim x,
e portanto
ln x;sin xcos x sim ln xcdot x

Passo 5

Basta então avaliar
limxto0^+xln x
Usando o fato clássico de que limtto0^+tln t=0, concluímos que
limxto0^+xln x=0
e, por conseguinte,
limxto0^+ln xcot x=0

Resposta

0

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