Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
y=x^2 e y^2=8 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas
y = x^2
e
y^2 = 8x
Para isso vamos usar o método dos discos/aros (washer method), em que, para cada y, a região gera um disco com raio externo R(y) e raio interno r(y), e
V = integralymin^ymax pil(R(y)^2 - r(y)^2r),dy

Passo 2

Encontrar os valores de y em que as curvas se intersectam. Da segunda curva isolamos
x = y^28
e igualamos a x de y=x^2, ou seja, x = raizy. Logo
raizy = y^28 Longrightarrow y^1/2 = y^28 Longrightarrow y^4 = 64y Longrightarrow y(y^3 - 64)=0
Dessa equação vêm y=0 e y^3=64, isto é, y=4. Então os limites de integração são de y=0 a y=4.

Passo 3

Para cada yin[0,4], a região está entre
xrm interno = y^28 e xrm externo = raizy
Girando em torno de y o raio interno é r(y)=xrm interno e o externo é R(y)=xrm externo. Assim
V = integral0^4pil(R(y)^2 - r(y)^2r),dy = piintegral0^4l((raizy)^2 - l(tfracy^28r)^2r),dy = piintegral0^4l(y - tfracy^464r),dy

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^4l(y - tfracy^464r),dy = l[tfracy^22 - tfracy^55cdot64r]0^4 = l(tfrac162 - tfrac4^5320r) = l(8 - tfrac1024320r) = 8 - 3,2 = 4,8 = tfrac245
Multiplicando por pi vem
V = 245,pi

Resposta

V = 245,pi

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