Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
Para isso vamos usar o método dos discos/aros (washer method), em que, para cada
, a região gera um disco com raio externo
e raio interno
, e
Passo 2
Encontrar os valores de
em que as curvas se intersectam. Da segunda curva isolamos
e igualamos a
de
, ou seja,
. Logo
Dessa equação vêm
e
, isto é,
. Então os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Para cada
, a região está entre
Girando em torno de
o raio interno é
e o externo é
. Assim
Passo 4
Calcular a integral:
Multiplicando por
vem