Verifique o Teorema da Divergência no plano para os seguintes dados:
F(x, y)=3 y i-2 x j; D é a região delimitada por x^2 / 3+y^2 / 3=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência no plano para
vec F(x,y)=3y,vec i-2x,vec j
e para a região D delimitada por
x^2/3+y^2/3=1
O Teorema da Divergência no plano afirma que o fluxo de vec F pelo contorno partial D (escolhido positivamente orientado) é igual à integral dupla da divergência de vec F sobre D:
ointpartial Dvec Fcdotvec n,ds =integral duplaDl(nablacdotvec Fr),dA

Passo 2

Vamos calcular a divergência de vec F. Se escrevemos
vec F=(P,Q)
com P(x,y)=3y e Q(x,y)=-2x, então
nablacdotvec F =partial Ppartial x+partial Qpartial y =partial (3y)partial x+partial(-2x)partial y =0+0=0

Passo 3

Como nablacdotvec F=0 em todo D, a integral de área é
integral duplaD(nablacdotvec F),dA =integral duplaD0,dA =0

Passo 4

Agora calculamos o fluxo pelo contorno via a forma
vec Fcdotvec n,ds =P,dy - Q,dx,
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vec Fcdotvec n,ds =3y,dy -(-2x),dx =3y,dy +2x,dx

Passo 5

Note que
3y,dy +2x,dx =dl(x^2+tfrac32,y^2r)
é um diferencial exato. A integral de um diferencial exato sobre uma curva fechada é zero, ou seja,
ointpartial Dvec Fcdotvec n,ds =ointpartial Ddl(x^2+tfrac32,y^2r) =0

Resposta

A integral de área e o fluxo pelo contorno são ambos zero, confirmando o Teorema da Divergência para a dada região e campo vetorial.

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