Verifique o Teorema da Divergência no plano para os seguintes dados:
; D é a região delimitada por
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência no plano para
e para a região delimitada por
e para a região
O Teorema da Divergência no plano afirma que o fluxo de
pelo contorno
(escolhido positivamente orientado) é igual à integral dupla da divergência de
sobre
:
Passo 2
Vamos calcular a divergência de
. Se escrevemos
com
e
, então
Passo 3
Como
em todo
, a integral de área é
Passo 4
Agora calculamos o fluxo pelo contorno via a forma
logo
Passo 5
Note que
é um diferencial exato. A integral de um diferencial exato sobre uma curva fechada é zero, ou seja,
Resposta
A integral de área e o fluxo pelo contorno são ambos zero, confirmando o Teorema da Divergência para a dada região e campo vetorial.